Дано: треугольник авс-прямоугольный- у него прямой угол с. середина гипотенузы ав отмечена точкой q. известно, что aq=qb. доказать что aq=qb=qc, то есть что середина гипотеннузы равноудалена от всех углов треугольника. зарание !
Проводим среднюю линию треугольника АВС - QP, которая перпендикулярна ВС ( средняя линия параллельна противоположной стороне АС) Треугольники QPC и QРВ равны , катет ВР=РС (средняя линия делит сторону на две равные части), QР - общий - по двум катетам. Значит AQ=QB=QC
Найдите площадь описанной около окружности правильного треугольника,если площадь вписанного в эту окружность квадрата равна 2√3 см².
Дано: S₁=2√3 см² (площадь квадрата вписанной в окружность ).
S = S(Δ) -? S =pr = (3a/2)*r , где a длина стороны правильного треугольника , r - радиус вписанной в треугольник окружности: r = a√3/ 6 ⇒ a =6r /√3 = (2√3) *r . Значит S = (3*2√3 / 2)*r² = (3√3)*r² . С другой стороны по условию площадь квадрата вписанной в окружность S₁= ( 2 r*2r)/2 = 2r² ⇒ r² = S₁/2. * * *или по другому S₁=b² =(r√2)² =2r² * * * Следовательно : S = (3√3)*r² = (3√3)*S₁/2=(3√3)*2√3/2 = 9 (см² ) .
а) Для начала вспомним, что такое гомотетия. Гомотетия - преобразование подобия. Это преобразование, в котором выделяются подобные фигуры.
Проведём прямые АС и BD до пересечения в точке Е. тр. ЕАВ подобен тр. ЕСD по двум углам: угол Е - общий ; угол ЕАВ = угол ECD - как соответственные углы при параллельных прямых AB и СD и секущей ЕС. Как видно, одна фигура переходит в другую фигуру, ей подобную.
Дополнительное построение необходимо для понимания проявления гомотетии.
б) Найдём коэффициент гомотетии. Он равен коэффициенту подобия треугольников ЕАВ и ЕCD: АВ = k • CD 2 = k • 6 k = 1/3 ИЛИ CD = k • AB 6 = k • 2 k = 3
Проводим среднюю линию треугольника АВС - QP, которая перпендикулярна ВС ( средняя линия параллельна противоположной стороне АС) Треугольники QPC и QРВ равны , катет ВР=РС (средняя линия делит сторону на две равные части), QР - общий - по двум катетам. Значит AQ=QB=QC