Из правильного треугольника АВС: из теоремы Пифагора: высота ВК равна 3 корня из 2. Угол ОАК - это угол между плоскостью АОС и основанием. Поскольку угол ОАК = 30 градусов, то катет ОК равен гипотенузы ОА как катет, который лежит против угла 30 градусов. ОК = ОА/2. Пускай ОК = х, тогда ОА = 2х. Из прямоугольного треугольника ОАК: за теоремой Пифагора: OA^2 = OK^2 + AK^2, 4x^2 = 9 - x^2, 3x^2 = 9, x^2 = 3, x = корень из 3. OK = корень из 3. Объем призмы равен площади основания умножить на высоту: S = So*H = S(ABC)*OK = BK*AC/2*OK = 9 корней из 6.
Ну вот сегодня что-то не вышло у меня найти "красивое геометрическое решение". Может, потом что-то в голову придет. Но тупое решение я конечно нашел, тут только на вид сложно. Пояснения к рисунку. Стороны треугольника я обозначил буквами a, b, c, напротив стороны a по условию лежит угол ∠A = 120°; l - биссектриса этого угла. Буквами x и y я обозначил отрезки сторон от вершины A до концов биссектрис. Стороны треугольника с вершинами в концах биссектрис я обозначил, как k, m, n; Нужно доказать, что k^2 = m^2 + n^2; тогда треугольник - прямоугольный. По ходу решения понадобится выразить длину биссектрисы через стороны, я для этого воспользуюсь вот чем. 2*S = bc*sin(A) = bl*sin(A/2) + cl*sin(A/2); l = 2bc*cos(A/2)/(b + c) = bc/(b + c); Длины отрезков x и y также легко найти, и они очень похожи на l x = bc/(a + b); y = bc/(a + c); это элементарно находится из свойства биссектрисы. Теперь можно приступить к решению. Из теоремы косинусов легко найти k^2 = x^2 + y^2 + xy; m^2 = l^2 + x^2 - xl; n^2 = l^2 + y^2 - yl; Кроме того, для всего треугольника тоже есть связь a^2 = c^2 + b^2 + bc; Легко видеть, что надо доказать, что 2l^2 = xl + yl + xy; или 2/(b+c)^2 = 1/(b+c)(a+b) + 1/(a+c)(b+c) + 1/(a+b)(a+c); или (что тоже самое, все преобразования - обратимы) 2(a+c)(a+b) = (a+b)(b+c) + (a+c)(b+c) + (b+c)^2; Если будет доказано это, то, делая обратные манипуляции, можно показать, что для k, m, n выполняется теорема Пифагора, что и нужно. Но последнее соотношение легко получить из a^2 = c^2 + b^2 +cb; => a^2 + ab + ac + bc = c^2 + b^2 + 2cb + ab + ac; => (a + b)(a+c) = (b+c)(a + b + c); => 2(a+c)(a+b) = (a+b)(b+c) + (a+c)(b+c) + (b+c)^2; откуда следует k^2 = m^2 + n^2; и треугольник прямоугольный.
