Грани ABCD и A1B1C1D1 шестигранника ABCDA1B1C1D1 лежат в параллельных плоскостях. Грань ABCD - квадрат со стороной 80, диагонали которого пересекаются в точке К. Грань А1В1C1D1 - прямоугольник со сторонами А1 В1 = 40 и A1D1 - 8, диагонали которого пересекаются в точке М. Отрезок КМ - 15 лежит на прямой, перпендикулярной плоскости грани ABCD. Определите: а) площадь полной поверхности многогранника; б) длины ребер, не лежащих в плоскостях данных квадрата и прямоугольника; в) имеют ли прямые АА1, ВВ1, СС1, DD1 одну общую точку.
а) Расчет площади полной поверхности многогранника.
Для этого нужно найти площади всех граней и сложить их.
1) Площадь грани ABCD - это квадрат, поэтому ее площадь равна сторона в квадрате - S_ABCD = 80^2 = 6400.
2) Площадь грани A1B1C1D1 - это прямоугольник, поэтому ее площадь равна произведению его сторон - S_A1B1C1D1 = A1B1 * A1D1 = 40 * 8 = 320.
3) Поскольку грани лежат в параллельных плоскостях, площади противоположных граней равны.
Таким образом, площадь полной поверхности многогранника равна 2 * (S_ABCD + S_A1B1C1D1) = 2 * (6400 + 320) = 2 * 6720 = 13440.
Ответ: площадь полной поверхности многогранника равна 13440.
б) Расчет длин ребер, не лежащих в плоскостях данных квадрата и прямоугольника.
Рассмотрим каждое ребро, которое не лежит в плоскостях данных фигур.
1) Ребро АА1 не лежит в плоскости грани ABCD. Оно соединяет вершины граней ABCD и A1B1C1D1. Так как грань ABCD - квадрат, то ребро АА1 - диагональ квадрата А1B1C1D1. Длина диагонали квадрата равна d = √(A1B1^2 + A1D1^2) = √(40^2 + 8^2) = √(1600 + 64) = √1664.
2) Ребра ВВ1, СС1 и DD1 также соединяют вершины граней ABCD и A1B1C1D1 и не лежат в плоскостях соответствующих граней. Так как грани ABCD и A1B1C1D1 лежат в параллельных плоскостях, то перпендикуляр к ним будет пересекать эти ребра в одной точке. Поэтому длины ребер ВВ1, СС1 и DD1 также будут равны диагонали прямоугольника, то есть d = √(A1B1^2 + A1D1^2) = √(40^2 + 8^2) = √(1600 + 64) = √1664.
Ответ: длины ребер, не лежащих в плоскостях данных квадрата и прямоугольника, равны √1664.
в) Определение, имеют ли прямые АА1, ВВ1, СС1, DD1 одну общую точку.
Для этого нужно найти точку пересечения прямых АА1, ВВ1, СС1, DD1. Если такая точка существует, то прямые имеют общую точку, в противном случае нет.
Рассмотрим треугольник, образованный точками А, В и К - точкой пересечения диагоналей квадрата ABCD. Так как грань ABCD - квадрат, то диагонали в нем равны и пересекаются в точке пересечения описанного треугольника. Рассмотрим плоскость, в которой лежат грани ABCD и A1B1C1D1, и проведем прямую, перпендикулярную этой плоскости через точку К.
Так как отрезок КМ лежит на перпендикулярной плоскости грани ABCD, а точка М - точка пересечения диагоналей прямоугольника A1B1C1D1, то прямая КМ пересекает плоскость грани ABCD.
Проведем прямые, параллельные граням ABCD и A1B1C1D1, через точки М и А1. Так как эти прямые параллельны граням ABCD и A1B1C1D1, они перпендикулярны плоскости, содержащей грани ABCD и A1B1C1D1.
Таким образом, прямые КМ, KM || AA1 || AD || A1B и A1M || A1C || A1D || ABCD || B1C || B1D || BCD пересекаются на плоскости грани ABCD и A1B1C1D1. Если отрезок КМ лежит на одной из этих прямых и точка М содержится в треугольнике ABC, то прямые АА1, ВВ1, СС1 и DD1 имеют одну общую точку, иначе нет.
Таким образом, чтобы определить, имеют ли прямые АА1, ВВ1, СС1, DD1 одну общую точку, нужно проверить следующие условия:
1) Прямые КМ, KM || AA1 || AD || A1B и A1M || A1C || A1D || ABCD || B1C || B1D || BCD пересекаются на плоскости грани ABCD и A1B1C1D1.
2) Точка М содержится в треугольнике ABC.
Эти условия можно проверить, построив треугольники ABC и А1BC и проверив, лежит ли точка М внутри треугольника ABC.
Ответ: чтобы определить, имеют ли прямые АА1, ВВ1, СС1, DD1 одну общую точку, нужно построить треугольники ABC и А1BC и проверить, лежит ли точка М внутри треугольника ABC.