Из ΔAMB по теореме косинусов : AB² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMB (1) ; Из ΔAMC : AC² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMC ; но cos∠AMC =cos(180° -∠AMB) = - cos∠AMB поэтому AC² =AM² +(BC/2)² +2AM*(BC/2)cos∠AMB (2) ; суммируем (1) и (2) получаем AB² +AC² =2AM² + BC²/2 ⇔4AM² =2AB² +2AC² -BC² ; но BC² =AB² +AC²- 2AB *AC*cosA поэтому : 4AM² =AB² +AC² + 2AB *AC*cosA.
* * * Можно продолжать медиана MD =AM и M соединить с вершинами B и C. Получится параллелограмм ABDC , где верно 2(AB²+AC²) = AD² +BC² ⇔2(AB²+AC²) = 4AM² +BC².
Для медианы CN : 4CN² =CB² +CA² +2CB*CA*cosC. Если ΔABC равнобедренный CB =AB ⇒∠C =∠A , то 4CN² =4AM² или CN =AM .
Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна всем прямым, лежащим на этой плоскости.
Следовательно угол АОВ=угол АОС=90°, значит ∆АОВ и ∆АОС – прямоугольные.
ВО+АС=3 см по условию. Пусть ВО=х, тогда АС=3–х.
В прямоугольном ∆АОВ по теореме Пифагора:
АВ²=АО²+ВО²
(√3)²=АО²+х²
АО²=3–х² (Ур 1)
По теореме Пифагора в прямоугольном ∆АОС:
АС²=ОС²+АО²
(3–х)²=2²+АО²
АО²=9–6х+х²–4
АО²=х²–6х+5 (Ур 2)
Подставим значение АО² из уравнения 1 в уравнение 2, получим:
3–х²=х²–6х+5
2х²–6х+2=0
х²–3х+1=0
Д=(–3)²–4*1*1=9–4=5
Тогда ВО=1,5+√1,25 или ВО=1,5–√1,25
Катет прямоугольного треугольника всегда меньше гипотенузы, то есть ВО<АВ
1,5+√1,25<√3
1,5+1,118<1,732
2,618<1,732
Неверно
1,5–√1,25<√3
1,5–1,118<1,732
0,382<1,732
Верно, следовательно ВО=1,5–√1,25 см.
Тогда АС=3–(1,5–√1,25)=3–1,5+√1,25=1,5+√1,25
ответ: ВО=1,5–√1,25 см, АС=1,5+√1,25 см.