Question

Стороны треугольника равны 6 см и 8 см. медиана треугольника, проведена к его третьей стороне, равна ^46 см. найдите неизвестную сторону

Answer 1

Придется воспользоваться теоремой косинусов.

Смотри рисунок. Обозначим BM - медиана, AM=x см,

$\angle BMA =\alpha, \quad \angle BMC =180^0-\alpha$

Выразим АВ по теореме косинусов через треугольник АВМ.

$AB^2=BM^2+AM^2-2*BM*AM*\cos\alpha$

$36=46+x^2-2*x*\sqrt{46}*\cos\alpha\quad (1)$

Выразим ВC по теореме косинусов через треугольник ВCМ.

$BC^2=BM^2+CM^2-2*BM*CM*\cos(180^0-\alpha)$

$64=46+x^2-2*\sqrt{46}*x*(\cos180^0\cos\alpha+\sin180^0\sin\alpha)$

$64=46+x^2-2*\sqrt{46}*x*(-\cos\alpha)$

$64=46+x^2+2*\sqrt{46}*x*\cos\alpha\quad(2)$

Составим систему уравнений из (1) и (2)

$\left \{ {{36=46+x^2-2*x*\sqrt{46}*\cos\alpha} \atop {64=46+x^2+2*x*\sqrt{46}*\cos\alpha}} \right.$

Нам нужно найти x. Поэтому надо избавиться от второго неизвестного. Поступим следующим образом. Вычтем из второго уравнения первое и выразим слагаемое с переменной альфа.

$4*x*\sqrt{46}*\cos\alpha=64-36$

$4*x*\sqrt{46}*\cos\alpha=28$

$2*x*\sqrt{46}*\cos\alpha=14$

Теперь подставим верхнее значение слагаемого с альфа в первое уравнение системы

$36=46+x^2-14$

$36=x^2+32$

$x^2=4$

x=2.

Значит

АС=2*х

АС=2*2

АС=4

ответ: 4