Дан четырёхугольник ABCD.Определите,что больше:периметр четырёхугольника или сумма длин его диагоналей.В четырехугольнике АВСD точка О - точка пересечения диагоналей AC и BD По теореме о неравенстве треугольника имеем:В треугольнике ABC: AC < AB + BC (1)В треугольнике ADC: AC < DA + DC (2).В треугольнике BAD: BD < AB + AD (3).В треугольнике BCD: BD < CB + CD (4). Сложим (1), (2), (3) и (4): 2(AC + BD) < 2(AB + BC + CD + AD) или(AC + BD) < (AB + BC + CD + AD) .ответ: сумма диагоналей четырехугольника МЕНЬШЕ его периметра.
Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна сумме площадей шести правильных треугольников со сторонами, равными радиусу этой окружности. Тогда площадь одного треугольника равна D/6. По формуле эта площадь равна (√3/4)*a², где а=R. Следовательно, √3*R²/4=D/6 => R²=2D√3/9. R=√(2D√3)/3 По Пифагору квадрат диагонали вписанного квадрата равен (2R)²=2а², где а - сторона квадрата. а=2R/√2 = R√2, а площадь - S= а² =2R² . Подставим найденное значение R, тогда сторона вписанного квадрата: а=√(2D√3/9)*√2=√(4D√3)/3. площадь вписанного квадрата: S=a²= 4D√3/9.
