Так как вписанная и описанная окружности существуют, то данная трапеция равнобедренной.
По свойства описанного четырехугольника, суммы его противоположных сторон равны: Две стороны AD и ВС известны, две другие АВ и СD равны между собой, тогда:
Проведем высоты BH и СК, равные диаметру вписанной окружности. Тогда отрезок НК будет равен отрезку ВС, а оставшаяся длина отрезка АD распределится поровну между отрезками АН и КD. Получаем: ;
Рассмотрим треугольник АВН. По теореме Пифагора: Так как найден диаметр вписанной окружности, то можно найти и радиус:
Проведем диагональ трапеции AC. По теореме Пифагора для треугольника АСК получим:
Рассмотрим треугольник АСD. Окружности, описанные около заданной трапеции и около треугольника ACD совпадают. Тогда найдем радиус описанной окружности треугольника ACD через теорему синусов: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла есть удвоенный радиус описанной окружности. Удобно записать соотношение в следующем виде: Неизвестный синус найдем из прямоугольного треугольника АКС: Выражаем R и подставляем выражение для синуса:
Так как ч-к АВСD вписан в окружность, то по свойству вписанного в окружность ч-ка угол А + угол С = угол В + угол D = 180°. Тогда примем угол С за х (°), тогда угол А равен х + 140°, а их сумма равна 180, то есть х + х + 140 = 180. Получаем, что 2х + 140 = 180, а значит, 2х = 40, а х = 20(°). Тогда угол А = х + 140 = 20 + 140 = 160(°), угол В = 3х = 3*20 = 60(°), а угол D = 180 - 60 = 120(°) (по свойству вписанного в окружность ч-ка). ответ: угол А равен 160°, угол В = 60°, угол С = 20°, угол D = 120°.
По свойства описанного четырехугольника, суммы его противоположных сторон равны:
Две стороны AD и ВС известны, две другие АВ и СD равны между собой, тогда:
Проведем высоты BH и СК, равные диаметру вписанной окружности. Тогда отрезок НК будет равен отрезку ВС, а оставшаяся длина отрезка АD распределится поровну между отрезками АН и КD. Получаем:
Рассмотрим треугольник АВН. По теореме Пифагора:
Так как найден диаметр вписанной окружности, то можно найти и радиус:
Проведем диагональ трапеции AC. По теореме Пифагора для треугольника АСК получим:
Рассмотрим треугольник АСD. Окружности, описанные около заданной трапеции и около треугольника ACD совпадают. Тогда найдем радиус описанной окружности треугольника ACD через теорему синусов: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла есть удвоенный радиус описанной окружности. Удобно записать соотношение в следующем виде:
Неизвестный синус найдем из прямоугольного треугольника АКС:
Выражаем R и подставляем выражение для синуса:
ответ: радиус вписанной окружности