Доказать подобие треугольников А1СВ1 и АВС.
сделаем построение по условию
треугольники ACA1 и ВСВ1 - подобные по ПЕРВОМУ признаку подобия (по двум углам)
<AA1C=<BB1C=90 град
<ACA1=<BCB1 -вертикальные
следовательно , соответственные стороны относятся
СA1 / CB1 =CA / CB = k1 -коэффициент подобия для треугольников ACA1 и ВСВ1
отношение можно записать по-другому
СA1 / CA = CB1 / CB = k2 -коэффициент подобия для треугольников А1СВ1 и АВС.
т.е. треугольники А1СВ1 и АВС подобны по ВТОРОМУ признаку подобия
(если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны)
пропорциональные стороны СA1 / CA = CB1 / CB
<A1CB1 = <ACB --вертикальные
доказано подобие треугольников А1СВ1 и АВС.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.