Дано:
АВСD - прямоугольная трапеция.
ВС - меньшее основание = 9 см.
AD - большее основание = 17 см.
АС - диагональ, биссектриса тупого угла ВСD.
Найти:
S(ABCD) = ?
Рассмотрим пару накрест лежащих углов BCA и АCD при параллельных прямых ВС и AD. Они равны, так как ВС||AD (по определению трапеции), следовательно, треугольник CAD - равнобедренный. Причём боковые стороны - это стороны AD и CD (так как они лежат против равных углов в одном треугольнике). AD = CD = 17 см.
Опустим из вершины тупого угла BCD на основание AD высоту CH. Рассмотрим четырёхугольник СНАВ. Все углы прямые, следовательно, четырёхугольник СНАВ - прямоугольник. У прямоугольника равны противоположные стороны, следовательно, ВС = АН = 9 см. Тогда НD = 17 см-9 см = 8 см.
Рассмотрим треугольник СНD - прямоугольный. По теореме Пифагора можем найти катет СН -
CD²-HD² = CH²
17²-8² = CH²
289-64 = CH²
CH² = 225
CH = √225
CH = 15 см.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты.
Высота - СН = 15 см.
Полусумма оснований - 0,5*(ВС+AD) = 0,5*(9 см+17 см) = 13 см.
S(ABCD) = 13 см*15 см = 195 см².
ответ: 195 см².
В сечении - четырёхугольник АКТЕ, симметричный относительно диагонали АТ.
Применим теорему Менелая.
(СМ/ВМ)*(ВК/KS)*(ST/TC) = 1.
(6√2/3√2)*(BK/KS)*((3√2/2)/(3√2/2)) = 1.
Отсюда получаем отношение (BK/KS) = 1/2.
Тогда KS = (2/3)BS = (2/3)*(3√2) = 2√2.
Теперь в треугольнике STK имеем 2 стороны и знаем угол в 60 градусов. По теореме косинусов:
TK = √((3√2/2)² + (2√2)² - 2*(3√2/2)*(2√2)*cos 60) = √((9/2) + 8 - 6) = √(13/2).
Аналогично АК = √((√2)² + (3√2)² - 2*(√2)*(3√2)*cos 60) = √(2 + 18 - 6) = √14.
Отрезки ТЕ и ЕА равны √(13/2) и √14.
Сумма квадратов 2*(13/2) + 2*14 = 13 + 28 = 41.