Доказательство опирается на то, что серединные перпендикуляры к сторонам тоже пересекаются в одной точке. Проведём через каждую вершину ΔABC прямую, параллельную противоположной стороне. Раз стороны ΔABC параллельны сторонам ΔA₂B₂C₂, то AB, BC и AC - средние линии (т.к. параллельны и равны половине данных сторон, это следует из того, что C₂BCA, ABCB₂, ABA₂C - параллелограммы, а как известно, противоположные стороны параллелограммов равны). Тогда прямые AA₂, BB₂ и CC₂ будут отсекать от сторон треугольников равные отрезки. Опять же, т.к. стороны ΔABC параллельны сторонам ΔA₂B₂C₂, то A₁A ⊥ C₂B₂, B₁B ⊥ C₂A₂, C₁C ⊥ A₂B₂, т.к. если две прямые параллельны, то прямая, перпендикулярная одной из них, будет перпендикулярна и второй. Тогда AA₁, BB₁, CC₁ - перпендикуляры к сторонам Δ₂B₂C₂. Но выше доказано, что AA₁, BB₁, CC₁ отсекают от сторон треугольника равные отрезки. Тогда AA₁, BB₁, CC₁ - серединные перпендикуляры к сторонам ΔA₂B₂C₂. Серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке. Но т.к. AA₁, BB₁, CC₁ - высоты ΔABC, то и высоты будут пересекаться в одной точке.
Если провести через вершины треугольника прямые параллельно противоположным сторонам, то получится треугольник с вдвое большими сторонами, чем у исходного, для которого высоты исходного треугольника будут медиатриссами (перпендикулярами, проведенными к сторонам в их серединах). Очевидно, что медиатриссы пересекаются в одной точке - центре описанной окружности (для "удвоенного" треугольника). Замечание. Ясно, что эти треугольники гомотетичны с центром в точке пересечения медиан, и коэффициентом -2. Точка пересечения высот при этом "становится" центром описанной окружности.
Проведём через каждую вершину ΔABC прямую, параллельную противоположной стороне.
Раз стороны ΔABC параллельны сторонам ΔA₂B₂C₂, то AB, BC и AC - средние линии (т.к. параллельны и равны половине данных сторон, это следует из того, что C₂BCA, ABCB₂, ABA₂C - параллелограммы, а как известно, противоположные стороны параллелограммов равны).
Тогда прямые AA₂, BB₂ и CC₂ будут отсекать от сторон треугольников равные отрезки.
Опять же, т.к. стороны ΔABC параллельны сторонам ΔA₂B₂C₂, то A₁A ⊥ C₂B₂, B₁B ⊥ C₂A₂, C₁C ⊥ A₂B₂, т.к. если две прямые параллельны, то прямая, перпендикулярная одной из них, будет перпендикулярна и второй.
Тогда AA₁, BB₁, CC₁ - перпендикуляры к сторонам Δ₂B₂C₂. Но выше доказано, что AA₁, BB₁, CC₁ отсекают от сторон треугольника равные отрезки. Тогда AA₁, BB₁, CC₁ - серединные перпендикуляры к сторонам ΔA₂B₂C₂. Серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке. Но т.к. AA₁, BB₁, CC₁ - высоты ΔABC, то и высоты будут пересекаться в одной точке.