Профессорская задачка :)
1. Вс задача. В произвольном треугольнике две прямые, выходящие из разных вершин, делятся в точке пересечения в отношении 2:1 и 1:1. Нужно найти, в каком отношении они делят стороны. На самом деле, для заданной задачи достаточно найти, в каком отношении делится сторона, к которой проведена та прямая, которая длится в отношении 2:1. На первом рисунке - простое решение этой задачи. (Не надо путать обозначения тут и при решении основной задачи).
Задано ВК/KN = 1; AK/KM = 2; надо найти BM/BC.
Проводится PM II AC, треугольники PKM и AKN подобны, и PK/KN = KM/AK = 1/2; но КN = BN/2, то есть PN = BN/4; тогда и BP = BN/4; а отсюда BM = BC/4;
2. Собственно решение. Я изменил обозначение точки пересечения медиан трегольника АВС на букву G. O - центр описанной окружности, Н - ортоцентр. Точка Р пересечения биссектрисы угла А и GН делит GН пополам.
Поскольку АР - биссектриса угла А, то её точка пересечения с окружностью N делит дугу ВС пополам, то есть совпадает с точкой пересечения перпендикуляра к ВС из центра О.
Легко увидеть, что угол DNA между биссектрисой и этим диаметром, обозначенный как α, равен (угол АСВ - угол АВС)/2 (проще всего это понять, если провести через А хорду АА1 II ВС, тогда дуга ВА1 = дуга АС, и угол А1NA = угол А1СА, а DN биссектриса угла A1NA), то есть α = 15°;
Теперь самое главное. Точки O, G и Н лежат на прямой Эйлера, и OG = GH/2; Отсюда следует, что OG = GP = PH; кроме того, точка G делит АК в отношении AG/GK = 2 (ну, это же медиана тр-ка АВС...)
Согласно вс задаче из треугольника AON получается OK = ON/4; то есть расстояние от О до хорды ВС равно четверти радиуса окружности. Отсюда легко найти радиус R описанной окружности. R^2 = 1^2 + (R/4)^2; R = 4/√15;
Для того, чтобы найти площадь, нужно найти АМ. Центральный угол DOA равен 2α = 30°; и равен углу ОАМ, откуда сразу видно, что АМ = ОК + АО*cos(2α) = R*(1/4 + cos(2α)) = R(1/4 + √3/2);
S = ВС*АМ/2 = (4/√15)*(1 + 2√3)/8 = (1 + 2√3)/(2√15);
Я, конечно, мог и ошибиться в арифметике, так что проверяйте, но смысл решения понятен :)
- пирамида PMNKL (Р- вершина),
- её высота Н равна 8,
- угол α между боковой гранью и плоскостью основания равен 60°.
1) Найти объём пирамиды
Находим сторону а основания:
а = 2*(Н/tg α) = 2*(8/√3) = 16/√3.
Площадь основания So = a² = 256/3.
Объём пирамиды: V = (1/3)So*H = (1/3)*(256/3)*8 = 2048/9 ≈ 227,5556.
2) Найти величину угла между диагональю KM и гранью PKL.
Для этого надо спроецировать КМ на грань PKL, то есть провести плоскость, проходящую через отрезок КМ перпендикулярно плоскости PKL. Затем найти угол между диагональю КМ и её проекцией на грань PKL.
Удобнее всего спроецировать точку О (это основание высоты РО пирамиды и середина диагонали КМ).
Проведём осевую секущую плоскость перпендикулярно ребру основания KL. В сечении получим равнобедренный треугольник EPQ с высотой РО = Н.
Из точки О опустим перпендикуляр OU на PQ.
Отрезок QU, как лежащий против угла в (90-60=30°) равен половине OQ, то есть QU = (a/2)/2 = а/4 = 16/(4√3) = 4/√3.
Теперь перенесём этот отрезок в плоскость грани KPL на апофему PQ.
Апофема A = PQ = H/(sin 60°) = 8/(√3/2) = 16/√3.
Отсюда видим, что апофема A равна ребру а основания.
Поэтому угол между боковым ребром и ребром основания равен:
<PLK = arc tg (a/(a/2)) = arc tg 2 = 63,43495°.
Угол UKL = arc tg((4/√3)/(8/√3)) = arc tg (1/2) = 26,56505°.
Если продлить отрезок KU до пересечения с боковым ребром PL в точке Т, то получим треугольник KTL с двумя известными углами при ребре основания а и самим ребром а.
Угол KTL = 180°-63,43495°-26,56505° = 90°.
Находим длину КТ = KL*sin (<KLT) =a*(A/L) = a²/L (L - это боковое ребро).
L = √(A² + (a/2)²) = √((256/3)+(64/3)) = √(320/3).
KT = (256/3)/(√(320/3)) = 256/√960 = 256/(8√(15) = 32/√15.
Теперь находим искомый угол TKM из равнобедренного треугольника KTM по теореме косинусов:
a b c p 2p S 8,26236447 13,063945 8,2623645 14,794337 29,58867424 33,04945789 68,2666667 170,66667 68,266667 6,53197265 1,7303918 6,5319726 73,830051 1092,266667 33,04945789 cos A = 0,7905694 cos B = -0,25 cos С = 0,790569415 Аrad = 0,659058 Brad = 1,8234766 Сrad = 0,659058036 Аgr = 37,761244 Bgr = 104,47751 Сgr = 37,76124391
ответ: угол ТКМ = 37,761244°.