Основанием прямой призмы является трапеция с основаниями 6 см и 27 см и боковыми сторонами 13 и 20 см. Вычислить объём призмы, если ее высота равна 10 см
Для решения задачи по вычислению объёма прямой призмы с основанием в виде трапеции, мы можем разделить эту призму на два треугольных призмы и одну параллелепипед.
1. Так как трапеция имеет основания 6 см и 27 см, а высота трапеции - 10 см, мы должны первый треугольный призму высотой 10 см, основанием которого будет треугольник, образованный основаниями трапеции и ее высотой.
Шаги решения для первой треугольной призмы:
- Найдем основание треугольника. Длины оснований трапеции - 6 см и 27 см - являются основаниями треугольника. Они будут двумя боковыми сторонами треугольника. Для нахождения третьей стороны треугольника, соединяющей два основания, нам нужно применить теорему Пифагора, так как треугольник является прямоугольным (одна сторона треугольника будет выступать в качестве гипотенузы треугольника, а две другие стороны - его катетами):
a^2 + b^2 = c^2
где a и b - длины оснований трапеции, а c - третья сторона треугольника.
Подставим известные значения:
6^2 + 27^2 = c^2
36 + 729 = c^2
765 = c^2
используя квадратные корни, найдем c:
c ≈ 27.7 см
- Теперь, когда у нас есть длина всех сторон треугольника, мы можем вычислить его площадь. Для этого мы можем использовать формулу полупериметра и радиуса вписанной окружности:
площадь треугольника = радиус вписанной окружности * полупериметр треугольника
Полупериметр треугольника вычисляется как сумма всех сторон, разделенная на 2:
полупериметр = (a + b + c) / 2
где a, b и c - стороны треугольника.
Радиус вписанной окружности треугольника вычисляется как произведение площади треугольника и полупериметра треугольника, деленное на площадь треугольника:
радиус = площадь треугольника / полупериметр треугольника
Зная эти значения, мы можем использовать формулу для вычисления площади треугольника:
площадь треугольника = √(полупериметр * (полупериметр - a) * (полупериметр - b) * (полупериметр - c))
- Теперь мы можем вычислить объем первой треугольной призмы, умножив площадь основания треугольника на его высоту:
объем первой треугольной призмы = площадь основания * высота = 134.46 см^2 * 10 см = 1344.6 см^3.
2. Вторая треугольная призма имеет такие же основания и высоту, поэтому ее объем также будет составлять 1344.6 см^3.
3. Теперь, чтобы найти объем прямой призмы, мы должны вычислить объем параллелепипеда. Для этого мы должны вычесть объем двух треугольных призм из объема прямой призмы.
1. Так как трапеция имеет основания 6 см и 27 см, а высота трапеции - 10 см, мы должны первый треугольный призму высотой 10 см, основанием которого будет треугольник, образованный основаниями трапеции и ее высотой.
Шаги решения для первой треугольной призмы:
- Найдем основание треугольника. Длины оснований трапеции - 6 см и 27 см - являются основаниями треугольника. Они будут двумя боковыми сторонами треугольника. Для нахождения третьей стороны треугольника, соединяющей два основания, нам нужно применить теорему Пифагора, так как треугольник является прямоугольным (одна сторона треугольника будет выступать в качестве гипотенузы треугольника, а две другие стороны - его катетами):
a^2 + b^2 = c^2
где a и b - длины оснований трапеции, а c - третья сторона треугольника.
Подставим известные значения:
6^2 + 27^2 = c^2
36 + 729 = c^2
765 = c^2
используя квадратные корни, найдем c:
c ≈ 27.7 см
- Теперь, когда у нас есть длина всех сторон треугольника, мы можем вычислить его площадь. Для этого мы можем использовать формулу полупериметра и радиуса вписанной окружности:
площадь треугольника = радиус вписанной окружности * полупериметр треугольника
Полупериметр треугольника вычисляется как сумма всех сторон, разделенная на 2:
полупериметр = (a + b + c) / 2
где a, b и c - стороны треугольника.
Радиус вписанной окружности треугольника вычисляется как произведение площади треугольника и полупериметра треугольника, деленное на площадь треугольника:
радиус = площадь треугольника / полупериметр треугольника
Зная эти значения, мы можем использовать формулу для вычисления площади треугольника:
площадь треугольника = √(полупериметр * (полупериметр - a) * (полупериметр - b) * (полупериметр - c))
где a, b и c - стороны треугольника.
Подставляя известные значения, мы получим:
площадь треугольника ≈ √(27.7 * (27.7 - 6) * (27.7 - 27) * (27.7 - 20))
площадь треугольника ≈ √(27.7 * 21.7 * 6.7 * 7.7)
площадь треугольника ≈ √18062.317 ≈ 134.46 см^2
- Теперь мы можем вычислить объем первой треугольной призмы, умножив площадь основания треугольника на его высоту:
объем первой треугольной призмы = площадь основания * высота = 134.46 см^2 * 10 см = 1344.6 см^3.
2. Вторая треугольная призма имеет такие же основания и высоту, поэтому ее объем также будет составлять 1344.6 см^3.
3. Теперь, чтобы найти объем прямой призмы, мы должны вычислить объем параллелепипеда. Для этого мы должны вычесть объем двух треугольных призм из объема прямой призмы.
объем параллелепипеда = объем призмы - 2 * объем первой треугольной призмы = 1344.6 см^3 - 2 * 1344.6 см^3 = 1344.6 см^3 - 2689.2 см^3 = -1344.6 см^3.
Ответ: объем прямой призмы равен -1344.6 см^3.