Продлим BM и BK до пересечения со сторонами квадрата в точках P и Q. Рассмотрим треугольник PDQ.
Центр вневписанной окружности треугольника - пересечение биссектрис одного внутреннего и двух внешних углов.
Центр вневписанной окружности лежит на биссектрисе угла D. Отрезок PQ виден из центра вневписанной окружности под углом 90 -D/2. Точка B обладает обоими свойствами, следовательно является центром вневписанной окружности треугольника PDQ.
Пусть E - точка касания вневписанной окружности.
A, C - также точки касания (радиус в точку касания перпендикулярен касательной)
PA=PE, QC=QE (отрезки касательных из одной точки)
PB, QB - биссектрисы
△APM=△EPM, △CQK=△EQK (по двум сторонам и углу между ними)
Следовательно AM=EM, CK=EK
∠MAP=∠MEP=45, ∠KCQ=∠KEQ=45 => ∠MEK=90
Определим вид треугольника ABC:
Следовательно ΔABC прямоугольный ∠B = 90°
Найдем площадь ΔABC как полупроизведение катетов:
Т.к. D - середина стороны AC, то BD - медиана, которая делит ΔABC на два равновеликих треугольника ⇒
Катет BC равен половине гипотенузы AC ⇒ ∠BAC = 30°
Т.к. точка D - середина гипотенузы, то она является центром описанной окружности и BD = AD, а следовательно ΔABD равнобедренный и ∠ABD = ∠BAC = 30°
Расстояние от точки A до прямой BD равно длине перпендикуляра AH, опущенного из этой точки на прямую BD и находится из прямоугольного ΔABH:
опустим высоту и обозначим ее за х отрезок большого основания
10^2-9^2=V19
10+V19