См. рисунок в приложении Пусть ребро АА₁ образует со сторонами основания АВ и AD угол в 60°. Соединяем точку А₁ с точкой D. В треугольнике АА₁D AA₁=2 м AD=1 м ∠A₁AD=60° По теореме косинусов A₁D²=AA₁²+AD²-2·AA·₁AD·cos60°=4+1-2·2·1(1/2)=3 A₁D=√3 м Треугольник A₁AD- прямоугольный по теореме обратной теореме Пифагора: АА₁²=AD²+A₁D² 2²=1+( √3 )² A₁D⊥AD В основании квадрат, стороны квадрата взаимно перпендикулярны АС⊥AD Отсюда AD⊥ плоскости A₁CD ВС || AD BC ⊥ плоскости A₁CD
ВС⊥A₁C
A₁C перпендикулярна двум пересекающимся прямым ВС и СD плоскости АВСD По признаку перпендикулярности прямой и плоскости А₁С перпендикуляр к плоскости АВСD A₁C - высота призмы A₁C=Н Из прямоугольного треугольника A₁DC: А₁С²=А₁D²-DC²=(√3)²-1=3-1=2 A₁C=Н=√2 м
Очевидно, что, если AB = BE = EF = FG = GC, то треугольники AEB, EFB, EGF и GCF будут равнобедренными, ∠ACB будет равен ∠GCF и ∠GFC и, по подобию треугольников, равен ∠ABE, а треугольник ВEF — равносторонний, т.е. все углы его по 60º. Зная, что сумма углов треугольника подчиняется равенству ∠ACB + ∠CBA + ∠BAC = 180º, а для равностороннего треугольника ABC, у которого ∠CBA = ∠BAC = ∠FBE + ∠EBA, справедливо ∠AСB + 2∠ВAС = ∠AСB + 2(∠FBE + ∠EBA) = ∠AСB + 2(60º + ∠AСB) = 180º. Проверяя предложенные варианты решения задачи, получаем: а) при ∠AСB=15º -> 15º + 2(60º + 15º) = 165º — не соблюдается сумма углов треугольника 180º — вариант не верен; б) при ∠AСB=36º -> 36º + 2(60º + 36º) = 228º — не соблюдается сумма углов треугольника 180º — вариант не верен; в) при ∠AСB=18º -> 18º + 2(60º + 18º) = 174º — не соблюдается сумма углов треугольника 180º — вариант не верен;г) при ∠AСB=30º -> 30º + 2(60º + 30º) = 210º — не соблюдается сумма углов треугольника 180º — вариант не верен; д) при ∠AСB=20º -> 20º + 2(60º + 20º) = 180º — соблюдается сумма углов треугольника 180º — вариант верен;
Пусть ребро АА₁ образует со сторонами основания АВ и AD угол в 60°.
Соединяем точку А₁ с точкой D.
В треугольнике АА₁D
AA₁=2 м
AD=1 м
∠A₁AD=60°
По теореме косинусов A₁D²=AA₁²+AD²-2·AA·₁AD·cos60°=4+1-2·2·1(1/2)=3
A₁D=√3 м
Треугольник A₁AD- прямоугольный
по теореме обратной теореме Пифагора:
АА₁²=AD²+A₁D² 2²=1+( √3 )²
A₁D⊥AD
В основании квадрат, стороны квадрата взаимно перпендикулярны
АС⊥AD
Отсюда AD⊥ плоскости A₁CD
ВС || AD
BC ⊥ плоскости A₁CD
ВС⊥A₁C
A₁C перпендикулярна двум пересекающимся прямым ВС и СD плоскости АВСD
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости А₁С перпендикуляр к плоскости АВСD
A₁C - высота призмы
A₁C=Н
Из прямоугольного треугольника
A₁DC:
А₁С²=А₁D²-DC²=(√3)²-1=3-1=2
A₁C=Н=√2 м
S(параллелепипеда)=S(осн)·Н=АВ²·Н=1·√2=√2 куб. м