Із кінців відрізка ab , який перетинае пряму a в точці o , проведено до цієї прямої перпендикуляри ac і bd, причому co=do . Доведіть , що точки a і b знаходяться на однаковій відстані від прямої a Впр-3 рис. 2
1) ∠СОА треугольника АСО = ∠ВОD треугольника ОDВ - так как эти углы являются вертикальными (образованы пересечением двух прямых и лежат друг напротив друга).
2) ∠АСО треугольника АСО = ∠ВDО треугольника ОDВ = 90° - согласно условию задачи (АС⊥ α и DB⊥α).
3) Сторона СО треугольника АСО = стороне ОD треугольника ОDВ
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Следовательно, ΔАСО = ΔОDB.
4) В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.
Сторона АС треугольника АСО и сторона DB треугольника ОDВ лежат против равных углов (∠СОА = ∠ВОD) - значит, АС = DB.
ВЫВОД: так как АС - это кратчайшее расстояние от точки А до прямой α (перпендикуляр является кратчайшим расстоянием) и DB - это также кратчайшее расстояние от точки B до прямой α, то это означает, что точки А и В находятся на одинаковом расстоянии от прямой α.
Вроде так) 1)С двух треугольников. Один трегольник удерживается на бумаге(чтобы не скользил). Второй треугольник одной из своих сторон плотно прижимается к первому треугольнику ,передвигай треугольник, а параллельные прямые получаются черчением вдоль другой стороны второго треугольника.(или же аналогично с линейки и треугольника) 2)Аксиома - это утверждение,которое не требует доказательств.Например,две параллельные линии никогда не пересекутся или что через две точки можно провести только одну прямую:) 3)Это аксиома.
Сделал 2 отдельных чертежа, чтобы было не так громоздко. Пусть дан треугольник из условия и пусть K - середина BC, T - точка пересечения окружности с прямой QI (см. рис. 1.)
Часть 1. Докажем, что AT || KI (кто это и так знает, может читать сразу часть 2). а) Пусть N - точка касания вневписанной окружности к АBC (см. рис. 1) тогда IT||FN, значит ∠AIT=∠AFN, IT/FN=IH/FJ=AI/AF, т.е. треугольники AIT и AFN подобны, а значит ∠IAT=∠FAN, т.е. точки A, T, N лежат на одной прямой. б) Пусть BC=a, AC=b, AB=c. Тогда, т.к. окр. I вписана в ABC, то если обозначить CQ=x, по свойствам отрезков касательных будет AH=AR, т.е. b-x=c-(a-x), значит x=(a+b-c)/2, откуда QK=a/2-x=(c-b)/2. Т.к. окр. F вневписана в ABC, то если обозначить CN=y, то по свойствам отрезков касательных будет AJ=AG, т.е. b+y=c+(a-y), значит y=(a-b+c)/2, откуда QN=y-x=с-b. Итак, QN=2QK, т.е. IK - средняя линия треугольника QTN, т.е. IK||AT.
Часть 2. Пусть теперь QL⊥BC и QL=h, где h - высота треугольника ABC, проведенная к BC, IQ=r, точка S=AK∩QL (см. рис 2.) Т.к. QSK и LSA подобны и IK || AT, то LS/SQ=AL/QK=LT/IQ=(h-2r)/r. Т.е. точка S разбивает LQ в отношении (h-2r)/r, что легко строится.
Итак, построение (его я уже не рисовал, т.к.пользы от этого мало). 1) Через Q проводим прямую BC перпендикулярную IQ. 2) Строим LQ=h=3*ME (см. рис.) очевидно как. 3) На прямой BC по одну сторону от Q откладываем точки U,V так, что QU=r, QV=h-r и через U проводим прямую параллельную прямой VL. Ее пересечение с QL и есть S, т.к. LS/SQ=UV/UQ=(h-2r)/r. 4) Через L проводим прямую параллельную BC (если она еще не проведена :), находим точку А как ее пересечение с прямой MS. 5) Строим окружность с центром I радиуса r и касательные к ней из точки А, до их пересечения с прямой BC в точках B и С.
См. Объяснение.
Объяснение:
Доказательство.
1) ∠СОА треугольника АСО = ∠ВОD треугольника ОDВ - так как эти углы являются вертикальными (образованы пересечением двух прямых и лежат друг напротив друга).
2) ∠АСО треугольника АСО = ∠ВDО треугольника ОDВ = 90° - согласно условию задачи (АС⊥ α и DB⊥α).
3) Сторона СО треугольника АСО = стороне ОD треугольника ОDВ
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Следовательно, ΔАСО = ΔОDB.
4) В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.
Сторона АС треугольника АСО и сторона DB треугольника ОDВ лежат против равных углов (∠СОА = ∠ВОD) - значит, АС = DB.
ВЫВОД: так как АС - это кратчайшее расстояние от точки А до прямой α (перпендикуляр является кратчайшим расстоянием) и DB - это также кратчайшее расстояние от точки B до прямой α, то это означает, что точки А и В находятся на одинаковом расстоянии от прямой α.