Question

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c=10 см, а острый угол равен α=42° Найдите катеты a, b и острый угол β ​

Answer 1

Добрый день!

Для решения данной задачи, нам понадобятся три формулы:
1. Формула синусов: a/sin(α) = c/sin(β) (где a и c - катеты, α и β - острые углы)
2. Формула косинусов: c^2 = a^2 + b^2 (где c - гипотенуза, a и b - катеты)
3. Сумма углов треугольника: α + β + γ = 180° (где γ - прямой угол)

По условию, у нас уже известны гипотенуза и острый угол. Давайте пошагово найдем катеты и угол β.

1. Найдем катет а:
Используем формулу синусов: a/sin(α) = c/sin(β)
Подставляем известные значения: a/sin(42°) = 10/sin(β)
Переносим a влево и sin(β) вправо: a = (sin(42°) * 10) / sin(β)
В данном случае sin(β) мы не знаем, но можем найти по формуле синусов: sin(β) = c/sin(γ)
Так как у нас прямоугольный треугольник, γ = 90°, и sin(γ) = sin(90°) = 1
Теперь подставляем это значение: sin(β) = 10/1 = 10
Получаем: a = (sin(42°) * 10) / 10

2. Найдем катет b:
Используем формулу косинусов: c^2 = a^2 + b^2
Подставляем известные значения: 10^2 = (sin(42°) * 10) / 10)^2 + b^2
Решаем уравнение: 100 = sin^2(42°) + b^2

3. Найдем острый угол β:
Используем формулу синусов: a/sin(α) = c/sin(β)
Подставим известные значения: a/sin(42°) = 10/sin(β)
Теперь выразим sin(β): sin(β) = (sin(42°) * 10) / a
Подставим значение a из первого шага: sin(β) = (sin(42°) * 10) / ((sin(42°) * 10) / 10)
Упростим выражение: sin(β) = 1/10
Теперь найдем угол β: β = arcsin(1/10)

В результате мы найдем значения катетов a и b, а также угол β.

Надеюсь, ответ был понятен! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.