Решите Отрезок АВ пересекает отрезок КС в точке О. Точку В соединили с точкой К, а точку А ── с точкой С. АО=ОВ, ОС в два раза больше ОК, площадь треугольника АОС равна 12 см2. Найдите площадь треугольника ВКО.
Два перпендикуляра к одной плоскости параллельны. Значит
АА₁║ВВ₁.
Две параллельные прямые задают плоскость, которая пересекает данную плоскость по прямой А₁В₁. Так как отрезок АВ лежит в плоскости (АВВ₁), то и точка D лежит на линии пересечения плоскостей.
Давай для разминки найдём высоту пирамиды. А для этого сначала диагональ основания, например, АС. Диагональ основания АС = АВ * корень(2) = 6*корень(3). Обозначим центр основания незатейливой буквой О, и половина диагонали основания АО определится как 3*корень(2). Тогда высота пирамиды по тереме Пифагора будет Н=корень( AS^2 - AO^2) = корень(54-18)=6. Круглое число, это хорошо.
Теперь заметим, что прямые АС и SK скрещиваются. Следовательно надо попробовать провести такую плоскость через одну из прямых, чтобы она была параллельна второй. Для этого отметим середину ребра АД буквой М. Обрати внимание, что прямая МК будет параллельна АС, ибо средняя линия треугольника АСД. Проведём плоскость через точки М, К и S. Это как раз такая плоскость, которая нам подойдёт, потому что она содержит SK, и при этом параллельна АС.
Теперь наша задача заключается в том, чтобы найти расстояние между прямой АС и плоскостью SMK. Тут ещё полезно будет отметить середину отрезка МК точкой, назовём её Х, и заметим что длина МК равна половине диагонали основания, то есть МК=3*корень(2), а ОХ будет равна 1/4 диагонали основания, то есть 3*корень(2)/2. Это видно из рассмотрения плоскости основания.
Теперь перейдём к треугольнику SOX. В нём мы имеем высоту пирамиды SO=6, и катет, лежащий в плоскости основания ОХ=3*корень(2)/2. Целью является найти высоту h, проведённую к гипотенузе SX, что и является целью задачи. Для этого сначала найдём длину гипотенузы SX, с теоремы Пифагора. SX = корень(SO^2+OX^2) = корень(36+4,5) = корень(40,5) (ай, какое плохое число получилось, может где обсчитался).
Далее найдём площадь треугольника SOX как половину произведения катетов, и получится площадь равна 1/2 * SO * OX = 1/2 * 6 * 3*корень(2)/2 = 9*корень(2) / 2. Последнее действие - зная площадь треугольника SOX найти высоту, проведёную к гипотенузе. h = 2 * площадь / SX = 2 * 9*корень(2) / 2 / корень(40,5) = 9 * корень( 2/ 40,5) = 2. (внезапно число на калькуляторе получилось точное, без дробей сам не понимаю почему).
Итого, ответ: расстояние между прямыми AC и SK, h=2.
Ну, так получилось. Следи за руками, может где смошенничал, но если так, то не нарочно.
Треугольник ONB подобен треугольнику NN1K, где N1 - середина MK, по первому признаку (по двум углам), т.к. угол NN1K равен углу NOB как cоответственные при параллельных прямых MK и AB и секущей NN1 . Из подобия данных треугольников следует, что NB/BK = NO/ON1 = 2, т.к. медиана делится точкой пересечения в отношении 2/1, считая от вершины. Треугольник ANB подобен тр-ку MNK по первому признаку (по двум углам), т.к. угол NAB = углу NMK как соответственные при параллельных прямых AB и MK; угол N - общий. Из подобия треугольников следует, что AB/MK = NB/NK = 2/3 (т.к. NK=NB+BK=2BK+BK=3 BK), тогда MK = 3×AB / 2 = 3×6= 18. ответ: 18 Удачи!
Два перпендикуляра к одной плоскости параллельны. Значит
АА₁║ВВ₁.
Две параллельные прямые задают плоскость, которая пересекает данную плоскость по прямой А₁В₁. Так как отрезок АВ лежит в плоскости (АВВ₁), то и точка D лежит на линии пересечения плоскостей.
Т.е. точки А₁, В₁ и D лежат на одной прямой.
∠ADA₁ = ∠BDB₁ как вертикальные,
∠AA₁D = ∠BB₁D = 90° по условию, значит
ΔAA₁D подобен ΔBB₁D по двум углам.
ΔAA₁D: ∠AA₁D = 90°, по теореме Пифагора
DA₁ = √(DA² - AA₁²) = √(25 - 9) = √16 = 4 см
B₁D : A₁D = BD : AD = BB₁ : AA₁ = 2 : 1
BB₁ : 3 = 2 : 1 ⇒ ВВ₁ = 6 см
BD : 5 = 2 : 1 ⇒ BD = 10 см
АВ = AD + DB = 5 + 10 = 15 см