Дано: ΔАВС, равнобедренный, АВ=ВС=5 м, АС=8 м, АК - медиана, ВН - биссектриса. Найти ВМ и АК.
Найдем ВН - биссектрису, медиану и высоту по свойству равнобедренного треугольника. Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный, АН=4 м, АВ=5 м, ВН=3 м (египетский треугольник).
Медианы треугольника в точке пересечения делятся в соотношении 2:1, считая от вершины. Поэтому ВМ=2 м.
Чтобы найти АК достроим треугольник до параллелограмма, т.к. отложим КД=АК, соединим точку Д с точками В и С.
По свойству диагоналей параллелограмма АД²+ВС²=2(АВ²+АС²); АД²+5²=2(5²+8²); АД²+25=178; АД²=153; АД=√153≈12,4 м.
Пусть основание равно Х, тогда боковая сторона равна (Х-9). В треугольнике, образованном высотой, проведенной к основанию, боковой стороной и половиной основания (данный нам треугольник равнобедренный) биссектриса угла при основании делит эту высоту в отношении 5:4, значит по свойству биссектрисы: "Биссектриса делит сторону, противолежащую углу в отношении сторон, образующих данный угол", имеем: (Х-9)/(Х/2)=5/4 или (9-Х)*2/Х=5/4. Тогда 8Х-72=5Х, отсюда Х=24. Итак, по Пифагору искомая высота равна √[(Х-9)²-(X/2)²]=√(15²-12²)=9см. ответ: высота, проведенная к основанию, равна 9см.
Пусть основание равно 6х, тогда боковая сторона равна 5х. Высота к основанию равнобедренного треугольника является также медианой, значит делит основание на части по 3х каждая. Запишем теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников: Основание равно 6х=6*2,5=15, боковые стороны равны 5x=12,5. Площадь треугольника с одной стороны равна полупроизведению высоты на основание S=1/2*15*10=75. С другой стороны площадь треугольника равна произведению длин сторон разделить на четыре радиуса описанной окружности, то есть: ответ: 7,8125
Дано: ΔАВС, равнобедренный, АВ=ВС=5 м, АС=8 м, АК - медиана, ВН - биссектриса. Найти ВМ и АК.
Найдем ВН - биссектрису, медиану и высоту по свойству равнобедренного треугольника. Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный, АН=4 м, АВ=5 м, ВН=3 м (египетский треугольник).
Медианы треугольника в точке пересечения делятся в соотношении 2:1, считая от вершины. Поэтому ВМ=2 м.
Чтобы найти АК достроим треугольник до параллелограмма, т.к. отложим КД=АК, соединим точку Д с точками В и С.
По свойству диагоналей параллелограмма АД²+ВС²=2(АВ²+АС²); АД²+5²=2(5²+8²); АД²+25=178; АД²=153; АД=√153≈12,4 м.
АК=1\2 АД=12,4:2=6,2 м.
ответ: 2 м, 6,2 м.