Отрезки ОА, ОВ и ОС - перпендикулярны сторонам треугольника MNK: MN NK и MK соответственно. В четырехугольнике СOВК сумма трех углов = 90+90+64=244 градуса. Значит четвертый угол ВОС = 360-224=116 градусов. Этоь угол - центральный, значит дуга ВС=116 градусов. Точно так же угол АОВ - центральный и равен из четырехугольника АNBO: 360-(180+72)=108 градусов. Значит дуга АВ равна 108 градусов. Ну и дуга АС равна 360-108-116 = 136 градусов. Итак, ответ: дуга АВ=108, дуга ВС=116 и АС=136 градусов.
Пусть катеты АС и ВС равны а. Тогда медиана (она же высота и биссектриса - так как треугольник АВС равнобедренный), проведенная к гипотенузе АВ треугольника равна половине этой гипотенузы и равна а√2. Угол между прямой (катет ВС) и плоскостью α - это угол между этой прямой СВ и ее проекцией МВ на плоскость. Итак, АВ=а√2. НС=НВ=а√2/2(так как в прямоугольном треугольнике СНВ катеты СН=НВ). СМ=МН=а/2(так как в прямоугольном треугольнике СМН <CHM=45°). Следовательно, угол СВМ равен 30°(так как катет СМ равен половине гипотенузы СВ). ответ: катет образует с плоскостью α угол, равный 30°
В выпуклом АВСЕ построим диагональ АС. Рассмотрим получившийся треугольник АВС. Здесь МН - средняя линия, т.к. по условию она соединяет середины сторон АВ и ВС. Значит МН II АС, МН=1/2АС Рассмотрим треугольник АЕС. Здесь РК - средняя линия, т.к. по условию она соединяет середины сторон АЕ и СЕ. Значит РК II АС, РК=1/2АС. Следовательно, МН II РК, МН = РК. Таким образом, в четырехугольнике МНКР две стороны равны и параллельны, значит МНКР - параллелограмм. Диагонали параллелограмма МК и НР точкой пересечения О делятся пополам (МО=КО, РО=НО), что и требовалось доказать.
Итак, ответ: дуга АВ=108, дуга ВС=116 и АС=136 градусов.