1). Треугольник АВС правильный, точка М находится на одинаковом расстоянии от его сторон. Значит точка М проецируется в центр О треугольника АВС, так как если наклонные (расстояния от точки М до сторон) равны, то равны и их проекции). Центр правильного треугольника лежит на пересечении его высот, медиан и биссектрис. Из прямоугольного треугольника МОН по Пифагору получим
ОН=√(МН²-МО²) = √(2²-1²) = √3см.
В прямоугольном треугольнике АОН <OAH=30° (АО - биссектриса угла А = 60°), значит АО=2*ОН = 2√3 (катет против угла 30°), а АН (половина стороны треугольника рана АН=√(АО²-ОН²) = √(12-3) = 3см.
Тогда АВ = 2*3 =6см.
ответ: сторона треугольника равна 6 см.
2). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны (свойство), отрезок SA перпендикулярен плоскости АВСD (дано). Следовательно, он перпендикулярен прямым АО, АВ, AD.
Тогда отрезок SO перпендикулярен прямой BD по теореме о трех перпендикулярах: Проекция AO наклонной SO перпендикулярна прямой BD, значит и наклонная SO перпендикулярна прямой BD.
1) Верное, так как точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон.
2) В правильном Δ радиус вписанной окружности равен половине радиуса описанной окружности. Центры этих окружностей в этом случае совпадают, одновременно они являются точками пересечения медиан, которые в точке пересечения делятся в отношении 2:1. Один из этих отрезков является радиусом описанной окружности, второй - радиусом вписанной окружности.
3) Верное. В этом случае высота является по совместительству серединным перпендикуляром, а центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.
4) Это утверждение верно только для равностороннего Δ, потому что только у такого Δ совпадают центры вписанной и описанной окружностей, а из написанного условия следует, что O - центр описанной окружности.
1). Треугольник АВС правильный, точка М находится на одинаковом расстоянии от его сторон. Значит точка М проецируется в центр О треугольника АВС, так как если наклонные (расстояния от точки М до сторон) равны, то равны и их проекции). Центр правильного треугольника лежит на пересечении его высот, медиан и биссектрис. Из прямоугольного треугольника МОН по Пифагору получим
ОН=√(МН²-МО²) = √(2²-1²) = √3см.
В прямоугольном треугольнике АОН <OAH=30° (АО - биссектриса угла А = 60°), значит АО=2*ОН = 2√3 (катет против угла 30°), а АН (половина стороны треугольника рана АН=√(АО²-ОН²) = √(12-3) = 3см.
Тогда АВ = 2*3 =6см.
ответ: сторона треугольника равна 6 см.
2). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны (свойство), отрезок SA перпендикулярен плоскости АВСD (дано). Следовательно, он перпендикулярен прямым АО, АВ, AD.
Тогда отрезок SO перпендикулярен прямой BD по теореме о трех перпендикулярах: Проекция AO наклонной SO перпендикулярна прямой BD, значит и наклонная SO перпендикулярна прямой BD.
ответ: <SOD = 90°.