Question

диагонали параллелограмма равны 8√3 см и 6 см вычислите угол между диагоналями параллелограмма, если его меньшая сторона равна √21​

Answer 1

30°

Объяснение:

Дано

ABCD - параллелограмм

АС = 8√3

BD = 6

АС пересек с BD = O

AD = √21

AD < AB

Найти

уг. AOD - ?

уг. АОВ -?

т.к. АС и BD диагонали, то в точке пересечения они делятся пополам:

$AO = OC = \frac{8 \sqrt{3} }{2} = 4 \sqrt{3 }$

$BO = OD = \frac{6}{2} = 3$

Рассм. ∆AОD

По Т. косинусов

$\small{AD^2=AO^2+OD^2 - AO \cdot OD \cdot 2\cos \angle AOD} \\ \small{ \cos \angle AOD = \frac{AO^2 + OD^2 - AD^2}{2\cdot AO \cdot OD}}$

$\small{ \cos \angle AOD = \frac{(4 \sqrt{3})^2 + 3^2 - ( \sqrt{21)} ^2}{2\cdot 4 \sqrt{3} \cdot 3}} = \frac{48 + 9 - 21}{24 \sqrt{3} } \\ \small{ \cos \angle AOD = \frac{36}{24 \sqrt{3} } = \frac{3}{2 \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3} }{2 } }$

Т.к. по условию AD - меньшая сторона параллелограмма, то уг. AОD острый. Значит

$\small{ \cos \angle AOD = \frac{ \sqrt{3} }{2 } = }\\ = \angle AOD = 30^{o}$Что и требовалось найти