Дано: ΔАВС подобен ΔKMN,
∠В = ∠М, ∠С = ∠N,
АС = 3 см, АВ = 3,5 см, ∠А = 30°, СЕ - биссектриса ΔАВС,
KN = 6 см, MN = 4 см
Найти:
а) ВС;
б) ∠К;
в) Sabc / Skmn;
г) АЕ и ВЕ.
б) ∠В = ∠М, ∠С = ∠N, ⇒ ∠К = ∠А = 30°.
а) В подобных треугольниках напротив равных углов лежат сходственные стороны. Тогда верно отношение:
ВС : MN = АС : KN = 3 / 6 = 1/2
k = 1/2
BC = 1/2 MN = 1/2 · 4 = 2 см
в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
Sabc / Skmn = k² = 1/4
г) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
AE : BE = CA : CB
Пусть АЕ = х, тогда ВЕ = 3,5 - х
x : (3,5 - x) = 3 : 2
2x = 3(3,5 - x)
2x = 10,5 - 3x
5x = 10,5
x = 2,1
АЕ = 2,1 см
ВЕ = 3,5 - 2,1 = 1,4 см
Если двугранные углы при ребрах основания равны (равны углы наклона боковых граней к плоскости основания), то высота пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. В ромбе это точка пересечения диагоналей (точка О на рисунке).
Проведем ОН⊥CD. ОН - проекция наклонной SH на плоскость основания, тогда SH⊥CD по теореме о трех перпендикулярах. Значит
∠SHO = 60° - линейный угол двугранного угла при ребре основания.
Периметр ромба 40 см, значит длина одной стороны ромба
CD = Pabcd/4 = 10 см.
КН - высота ромба.
Sabcd = CD · KH
KH = Sabcd / CD = 60 / 10 = 6 см
ОН = 1/2 КН = 3 см.
ΔSOH: ∠SOH = 90°,
SO = OH · tg∠SOH = 3 · √3 = 3√3 см
Объем пирамиды:
V = 1/3 Sabcd · SO = 1/3 · 60 · 3√3 = 60√3 см³