Задание: написать уравнение прямой ax+by+c=0, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек A(5;2) и B(9;8) .
Геометрическое место точек, равноудалённых от точек А и В, это перпендикуляр к середине отрезка АВ.
Находим координаты точки С - середины отрезка АВ.
С = ((5+9)/2; (2+8)/2) = (7; 5).
Теперь находим уравнение прямой АВ.
Вектор АВ = (9-5; 8-2) = (4; 6). Это направляющий вектор прямой АВ.
У перпендикулярного вектора координаты такие, что скалярное произведение его и вектора прямой равно 0.
Значит, направляющий вектор перпендикуляра равен(-6; 4).
Используем координаты точки С(7; 5)..
ответ: уравнение искомой прямой (х - 7)/(-6) = (у - 5)/4 это в каноническом виде, или в общем виде 2х + 3у - 29 = 0.
ВК=BD*sin(BDA)
С другой стороны, AD = AC / 2 = BD / cos(BDA) => AC = 2 * BD / cos(BDA)
Площадь S треугольника АВС:
S = ВК*АС / 2 = ВК*АD = BD*sin(BDA) * BD / cos(BDA) = BD^2 * tg(BDA)
tg(BDA) = S / BD^2; 1 / cos(BDA) = корень (1 + tg^2(BDA)) = корень (1 + S^2 / BD^4)
Таким образом,
AC = 2 * BD / cos(BDA) = 2 * BD * корень (1 + S^2 / BD^4)
АС = 2 * 3 * корень (1 + 12^2 / 3^4) = 6 * корень (1 + 144 / 81) = 6 * корень (225 / 81) = 6 * 15 / 9 = 10.