1. ↑a = - 2↑i + ↑j
↑a = { - 2; 1 } ↑b = { 10 ; - 15 }
↑c = 3↑a - 1/5↑b
3↑a = { 3 · (- 2); 3 · 1 } = { - 6; 3 }
- 1/5↑b = {- 1/5 · 10 ; - 1/5 · (- 15) } = {- 2 ; 3}
↑c = {- 6 - 2; 3 + 3} = {- 8 ; 6}
|↑c| = √((-8)² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10
2. Уравнение окружности: (x - x₀)² + (y - y₀)² = R², где
(х₀; у₀) - координаты центра, R - радиус окружности.
Подставим координаты центра и координаты точки Х:
(- 3 - 1)² + (- 4 - (- 7))² = R²
R² = (- 4)² + 3² = 16 + 9 = 25
(x - 1)² + (y + 7)² = 25
3. ∠1 = ∠2, так как AF биссектриса ∠А, ∠2 = ∠3 какнакрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и AD секущей AF, ⇒
∠1 = ∠3, ⇒ ΔАВF равнобедренный, ⇒ АВ = BF.
∠4 = ∠5, так как DF - биссектриса ∠D, ∠5 = ∠6 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и AD секущей DF, ⇒
∠4 = ∠6, ⇒ Δ DCF равнобедренный, ⇒ DC = CF.
Так как АВ = DC по свойству параллелограмма, то
BF = FC= 1/2 AD = 1/2 · 9 = 4,5 см.
АВ = DC = BF = FC = 4,5 см.
Pabcd = (AB + AD) ·2 = (9 + 4,5) · 2 = 27 см
4. а) ∠ТМК = ∠TNP как соответственные при пересечении параллельных прямых МК и NP секущей МТ, угол при вершине Т общий для треугольников NTP и МТК, значит эти треугольники подобны по двум углам.
б) Если TN : NM = 5 : 3, то коэффициет подобия
k = TN : TM = 5 : 8.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
Stmk : Snpt = 64 : 25
Stmk = 64 · Snpt / 25 = 64 · 75 / 25 = 64 · 3 = 192 кв. ед.
ответ: 96√2 дм²
Объяснение: Угол между плоскостями – двугранный угол. Его величина определяется градусной мерой линейного угла, сторонами которого являются лучи, проведённые в его гранях перпендикулярно ребру с общим началом на нём. На рисунке вложения данный угол образован наклонной D1H и её проекцией НD. Оба отрезка перпендикулярны АС, а угол D1HD=45° по условию. Треугольник D1HD прямоугольный, т.к. параллелепипед прямоугольный и ребро DD1 перпендикулярно плоскости основания.
По т.Пифагора АС=√(CD²+ DA²)=√(16²+12²)=20 дм.
DH=CD•AD:AC=16•12:20=9,6 дм
В ∆ АСD1 по т.Пифагора из ∆ DHD1 высота D1H=DH:cos45° D1H==9,6(√2/2)=9,6√2.
S(ACD1)=D1H•AC:2=96√2 дм²