В треугольнике ABC проведены высота AH и медиана AM, а также средняя линия KL, параллельная стороне BC. Какой из углов больше:
угол KHL или угол KML?
Объяснение:
1) Т.к. К, М середины АВ и ВС , то КМ -средняя линия ΔАВС. По т. о средней линии треугольника КМ║АС⇒КМ║АL.
Т.к. L, М середины АC и ВС , то LМ -средняя линия ΔАВС. По т. о средней линии треугольника LМ║АB⇒LМ║АK.
Значит АLMK- параллелограмм по определению и ∠КМL=∠KAL ,по свойству противоположных углов параллелограмма .
2)Т.к. КL║BC и АН⊥ВС ⇒ КL⊥АН.
Т.к. КL средняя линия , то АО=ОН ⇒ КL- серединный перпендикуляр , каждая точка которого равноудалена от концов отрезка АН. Поэтому КА=КН и LA=LH ⇒
ΔКАН-равнобедренный : ∠КАН=∠КНА ;
ΔLAH -равнобедренный : ∠LAH=∠LHA ;
3) 
⇒ ∠КHL=∠KAL ⇒ ∠КHL=∠KML Вот так неожиданно и странно.
(Комментарий забанен автором)
ответ 1/3
(НЕОБХОДИМЫЕ пояснения: Вершина пирамиды проектируется в центр вписаной окружности, r = H/3)
Ладно, может и правда, нужно...
Опускаем перпендикуляр из вершины на основание. То, что это будет центр правильного треугольника, и доказывать не надо - все так симметрично, что иначе и быть не может. Но, для фана, скажу, что раз ребра равны, то и проекции их на основание будут равны, а в правильном треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписаной : Далее, проводим сечение пирамиды через ребро и высоту пирамиды. То, что это сечение пройдет через высоту противоположной грани (апофему), тоже доказать несложно, поскольку эта плоскость уже содержит 2 прямых, перпендикулярных ребру... Ну, и косинус двуграного угла равен расстоянию от центра треугольника до стороны, деленному на апофему. Ладно...
пусть х-боковая сторона, тогда основание-0,5х (т.к 50% - это половина или 1/2), учитывая, то что периметр это сумма всех сторон получаем:
х+х+0,5х=15
2,5х=15
х=6 - боковая сторона. и 0,5*6=3 - основание.
тогда высота=3+2,8=5,8 см.
так как площадь треугольника равна половинне произведения основания на высоту, получаем:
S=1/2*3*5,8=8,7 см квадратных.
ответ:8,7 см квадратных