Втрапеции авсd основания вс и аd равны 8 и 12 см,диагональ ас равна 40 см и пересекает диагональ bdв точке о. найдите ао и со ,отношение площадей треугольников аоd и вос. решите сегодня надо
Заметим, что AB=AM+BM, CD=CP+DP, BC=BN+CN, AD=AQ+DQ.
По условию, AM=CP, BM=DP, тогда AB=CD. Также BN=DQ, CN=AQ, тогда BC=AD. Противоположные стороны четырехугольника ABCD попарно равны, тогда этот четырехугольник - параллелограмм.
В параллелограмме противоположные углы попарно равны. Рассмотрим треугольники AMQ и CNP. Они равны по 2 сторонам и углу между ними. Тогда MQ=NP. Аналогично, треугольники BMN и OPQ равны по 2 сторонам и углу между ними, тогда MN=PQ. В четырехугольнике MNPQ противоположные стороны попарно равны, тогда этот четырехугольник также является параллелограммом.
Пусть в четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой углов А и С, а диагональ ВD является биссектрисой углов В и D (см. рисунок).
Докажем, что противоположные углы четырехугольника равны. Рассмотрим треугольники АВD и ВСD. Угол ВАD треугольника АВD равен 180-АВD-ВDА. Угол С треугольника ВСD равен 180-DВС-СDВ. Так как АВD=DВС, а ВDА=СDВ, получаем, что углы А и С четырехугольника равны. Аналогично, рассмотрим треугольники АВС и АDС. В треугольнике АВС угол В равен 180-ВАС-ВСА, в треугольнике АDС угол D равен 180-DАС-DСА Углы ВАС и DАС, ВСА и DСА попарно равны, тогда углы B и D также равны.
Теперь рассмотрим треугольник АВС. Так как углы А и С равны, равны и углы САВ и ВСА. Тогда треугольник равнобедренный и АВ=ВС. Аналогично, рассмотрим треугольник ВСD, в нём углы СВD и СDВ равны, тогда он также равнобедренный и СD=ВС=АВ. Наконец, треугольник АСD также равнобедренный с основанием АС, поэтому АD=СD=ВС=АВ. То есть, все стороны исходного четырехугольника равны, тогда он является ромбом.
Треугольники АОД и ВОС подобны, значит стороны пропорцианальны: АД/ВС=АО/ОС
Обозначим сторону ОС=х, тогда АО=40-х.
12/8=(40-х)/х,
12х=320-8х,
320=20х,
х=16. Значит, ОС=16, тогда АО=40-16=24.
Площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих сторон, т.
S(AOD)/S(BOC)=AD^2/BC^2=12^2/*^2=9/4.
ответ. 1) 16 и 24
2) 9:4