Рассмотрим усеченный конус в продольном сечении. Это равнобедренная трапеция с основаниями AD=b=6 см и BC=a=4 см.
В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.:AB+DC= AD+BC или 2a= b+c
Бедро трапеции выражается через высоту по теореме Пифагора:
Зная, что 2a= b+c, получаем:
Упростив выражение получим:
используем формулы Квадрат суммы и Квадрат разности и после раскрытия скобок и упрощения получим
h=√(4*6)=√24=2√6
Радиус вписанной окружности равен половине высоты, т.к. центр окружности равноудален от точек кассания со сторонами/основаниями трапеции.
r=½h=½*2√6=√6
Радиус рассмотренной окружности и будет радиусом шара
ответ: 
Вот дела то, я не ту задачу решил:))) я зачем то считал, что СМ - РАДИУС.. и час решал, и решил :))) Решу теперь про диаметр.
Тем же
Пусть Е - точка пересечения АС и окружности (то есть середина АС). Соединим М и Е. Угол МЕС опирается на диаметр СМ, поэтому треугольник СМЕ прямоугольный . Но ЕM II CB, поэтому весь треугольник АВС прямоугольный. И раз медиана СМ = 5, то гипотенуза АВ = 10;
А площадь SABC = 24. Я сразу напишу ответ - катеты равны 6 и 8, а периметр 24.
Можно, конечно, сосчитать все "как положено", но это не обязательно. Тут явно присутствует Пифагорова тройка (6,8,10).
Примечание. "Как положено" лучше делать так
a^2 + b^2 = 10^2;
a*b = 2*24;
(a + b)^2 = 196;
(a - b)^2 = 4;
Ну, и дальше ответ. Я это для того пишу, что вопрос-то - найти периметр, то есть нам нужна сумма (a + b), которая находится РАНЬШЕ катетов :))