Question

К плоскости прямоугольного треугольника АВС (С=90) проведен перпендикуляр МВ. Через произвольную точку наклонной МС проведен отрезок DE параллельный АС. Докажите, что: 1) МС перпендикулярен DE; 2) треугольник BDE - прямоугольный.

Answer 1

Для доказательства задачи, мы воспользуемся свойствами перпендикулярности и параллельности.

1) Для начала, мы должны доказать, что отрезок МС перпендикулярен отрезку DE.

По условию, отрезок МВ является перпендикуляром к плоскости прямоугольного треугольника АВС. Это означает, что угол МВС равен 90 градусам.

Также, мы знаем, что отрезок DE параллелен отрезку АС. Если две прямые параллельны, то соответствующие углы между ними равны. В данном случае, угол МСА равен 90 градусам, так как треугольник АВС прямоугольный. Значит, угол МСА равен углу, который образуется при пересечении отрезков МС и DE.

Таким образом, у нас имеются два угла, МВС и МСА, которые равны 90 градусам. А это означает, что отрезок МС перпендикулярен отрезку DE.

2) Теперь мы докажем, что треугольник BDE является прямоугольным.

У нас уже есть угол МСА, который равен 90 градусам, так как треугольник АВС прямоугольный.

Также, у нас есть отрезки DE и БД, которые параллельны и соответствующие углы равны. Значит, треугольники BDE и АБД являются подобными.

Из подобия треугольников, мы знаем, что соответствующие стороны пропорциональны.

Так как отрезок АБ является гипотенузой треугольника АВС (по определению прямоугольного треугольника), то наш отрезок БД также является гипотенузой треугольника BDE.

Значит, треугольник BDE является прямоугольным, так как он имеет прямой угол и две стороны, которые соответствуют гипотенузе треугольника АВС.

Таким образом, мы доказали, что отрезок МС перпендикулярен отрезку DE и треугольник BDE является прямоугольным.