Луч AК – биссектриса угла ВАС. На сторонах угла отложены равные отрезки АВ и АС. Запишите равные элементы треугольников ВАК и САК и определите, по какому признаку треугольники равны. А) первый признак равенство треугольников; В) второй признак равенство треугольников; С) третий признак равенство треугольников.
В треугольнике АВС по теореме косинусов находим углы А и С: cos A = (b²+c²-a²) / (2bc) = (15²+8²-13²) / (2*15*8) = 120 / 240 = 1 / 2. A = arc cos (1/2) = 60°. cos C = (a²+b²-c²) / (2ab) = (13²+15²-8²) / (2*13*15) = 330 / 390 = 11 / 13 C = arc cos (11/13) = 32,20423°. Теперь определяем длину отрезка ВД = √(5²+8²-2*5*8*(1/2)) = √(25+64-40) = 7. В треугольниках ABD и CBD находим радиусы вписанных окружностей по формуле: r = √((p-a)(p-b)(p-c) / p). r₁ = √((10-5)(10-8)(10-7) / 10) = √3 = 1,732051, r₂ = √((15-7)(15-10)(15-13) / 15) = √(80/15) = √(16/3) = 4 / √3 = 2,309401. Находим тангенс половинного углa С через косинус по формуле: tg α/2 =√(1-cos α) / (1+cos α). tg A/2 = tg 60/2 = tg 30 = 1/√3 tg C/2 = √((1-(11/13)) / (1+(11/13))) = √(2/24) = √(1/12) = 1 / 2√3. Находим отрезки АК и СL: AK = r₁ / tg A/2 = √3 / (1/√3) = 3. CL = r₂ / tg C/2 = 4*2√3 / √3 = 8 Отсюда искомый отрезок KL = 15-3-8 = 4. Из условия задачи вытекает только один вариант: если соотношение отрезков AD и DC считать слева направо. Второй вариант может быть при расположении точки D со стороны ула С.
дано: ab=ad,
∠bac=∠dac
доказать: ∆abc=∆adc
доказательство:
1) ab=ad (по условию)
2) ∠bac=∠dac (по условию)
3) ac — общая сторона.
следовательно, ∆abc=∆adc (по двум сторонам и углу между ними)
дано:
ao=bo,
co=do
доказать: ∆aoc=∆bod.
доказательство:
определяем те элементы, о равенстве которых известно по условию :
1) ao=bo (по условию)
2) co=do (по условию).
3) ∠aoc = ∠bod (как вертикальные).
дано:
ab=ac,
af=ak
доказать: ∆abk=∆acf
доказательство:
1) ab=ac (по условию)
2) af=ak (по условию)
3) ∠a — общий.
следовательно, ∆abk=∆acf (по двум сторонам и углу между ними).
вычислите периметр равнобедренного треугольника авс, если периметр треугольника adc равен 18 cм, и cd = 6 cм и ad = bd (fig.5)
доказательство:
периметр треугольника adc = ac + cd + ad = 18 ⇔ ac + 6 + ad = 18 ⇔ ac + ad = 12
потому что ac = bc (треугольники являются равнобедренными) и ad = db, следовательно ac + ad = db +bc = 12
периметр треугольника abc = ab + ac + bc = ad + db + ac + bc = 12 + 12 = 24 cм.