1. Используя рисунок, выразите отрезки AС и АD через тригонометрические функции углов α и β [2]

2. Две стороны прямоугольного треугольника равны: 6 см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника. Рассмотрите все возможные случаи. [3]
3. В прямоугольном треугольнике cos α=45. Вычислите sin α, tg α и ctg α. [4]
4. В равнобедренной трапеции ABCD сторона ВС равна 5 см, высота СЕ равна 3√3 , а боковая сторона образует с основанием АD угол 60°. Найти основание AD трапеции ABCD. [5]
5. Найти углы ромба ABCD, если его диагонали АС и BD равны 4√3 м и 4 м.
1. Чтобы выразить отрезки AC и AD через тригонометрические функции углов α и β, рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Заметим, что угол ACB равен α, а угол BAD равен β.
Отрезок AC можно выразить с помощью функций синус и косинус. Обратимся к прямоугольному треугольнику ABC.
Согласно теореме Пифагора, гипотенуза BC равна √(AB^2 + AC^2). В данном случае, AB = AD, поэтому BC = √(AD^2 + AC^2).
Также, из прямоугольного треугольника ABC, следует, что синус угла α равен отношению противоположного катета AC к гипотенузе BC.
Итак, sin α = AC / BC.
Учитывая предыдущие равенства, получаем:
sin α = AC / √(AD^2 + AC^2).
Теперь рассмотрим отрезок AD. Он может быть выражен с помощью функций тангенс и котангенс.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Из него следует, что тангенс угла β равен отношению противоположного катета AD к прилежащему катету AB. То есть,
tg β = AD / AB.
Учитывая, что AB = AC, получаем:
tg β = AD / AC.
Отсюда можно выразить отрезок AD:
AD = AC * tg β.
Таким образом, отрезки AC и AD можно выразить следующим образом:
AC = BC * sin α,
AD = AC * tg β.
2. По условию задачи, даны две стороны прямоугольного треугольника: 6 см и 8 см. Чтобы найти третью сторону треугольника, можно воспользоваться теоремой Пифагора.
Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае, гипотенуза равна третьей стороне треугольника.
Итак, a^2 + b^2 = c^2, где a и b - катеты (известные стороны треугольника), c - гипотенуза (искомая сторона треугольника).
Подставим известные значения: a = 6 см и b = 8 см.
6^2 + 8^2 = c^2,
36 + 64 = c^2,
100 = c^2.
Для нахождения третьей стороны треугольника нужно найти квадратный корень из полученного значения:
c = √100,
c = 10 см.
Таким образом, третья сторона треугольника равна 10 см.
3. В прямоугольном треугольнике cos α = 45. Найдем sin α, tg α и ctg α.
Известно, что угол α является одним из углов прямоугольного треугольника, а cos α равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Таким образом, cos α = AC / BC.
Подставим известное значение: cos α = 45.
AC / BC = 45.
Так как синус угла α равен отношению противоположного катета AC к гипотенузе BC, то sin α = BC / AC.
Из предыдущего равенства получаем:
sin α = 1 / cos α,
sin α = 1 / 45.
Тангенс угла α равен отношению противоположного катета AC к прилежащему катету BC. То есть:
tg α = AC / BC,
tg α = 45.
Котангенс угла α равен обратному значению тангенса. То есть:
ctg α = 1 / tg α,
ctg α = 1 / 45.
Таким образом, sin α = 1 / 45, tg α = 45 и ctg α = 1 / 45.
4. В равнобедренной трапеции ABCD сторона ВС равна 5 см, высота СЕ равна 3√3, а боковая сторона образует с основанием AD угол 60°. Найдем основание AD трапеции ABCD.
Поскольку трапеция ABCD является равнобедренной, то боковые стороны BC и AD равны. То есть, BC = AD.
Рассмотрим треугольник BCE. Угол BCD в этом треугольнике равен 180° - 60° = 120°.
Так как треугольник BCE является равносторонним (ведь углы потому и равны), то CE = 3√3 см (высота дана в условии).
Известно также, что в равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому BE = CE = 3√3 см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDA. Известно, что основание BC равно 5 см, а угол между основанием BC и боковой стороной AD равен 60°.
Таким образом, можно применить функцию косинуса для нахождения значения боковой стороны AD:
cos 60° = BC / AD,
1/2 = 5 / AD.
Теперь найдем значение AD:
AD = (5 / (1/2)),
AD = 5 * 2,
AD = 10 см.
Таким образом, основание AD трапеции ABCD равно 10 см.
5. Чтобы найти углы ромба ABCD, нас интересуют значения углов OAC и OCD, где O - центр ромба (пересечение диагоналей).
Известно, что диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом, и их длины равны 4√3 и 4 метра соответственно.
Так как углы вокруг центра ромба в сумме дают 360°, то в данном случае интересуют нам два угла OAC и OCD.
Поскольку диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом, то углы OAC и OCD равны между собой и каждый из них равен половине угла прямоугольного треугольника AOC.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOC. Длины катетов равны 2√3 и 2 метра, так как диагональ AC равна 4√3 и 4 метра (половина длины диагонали).
Отрезок AC можно выразить с помощью функций синус и косинус. Обратимся к прямоугольному треугольнику ABC.
Согласно теореме Пифагора, гипотенуза BC равна √(AB^2 + AC^2). В данном случае, AB = AD, поэтому BC = √(AD^2 + AC^2).
Также, из прямоугольного треугольника ABC, следует, что синус угла α равен отношению противоположного катета AC к гипотенузе BC.
Итак, sin α = AC / BC.
Учитывая предыдущие равенства, получаем:
sin α = AC / √(AD^2 + AC^2).
Теперь рассмотрим отрезок AD. Он может быть выражен с помощью функций тангенс и котангенс.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Из него следует, что тангенс угла β равен отношению противоположного катета AD к прилежащему катету AB. То есть,
tg β = AD / AB.
Учитывая, что AB = AC, получаем:
tg β = AD / AC.
Отсюда можно выразить отрезок AD:
AD = AC * tg β.
Таким образом, отрезки AC и AD можно выразить следующим образом:
AC = BC * sin α,
AD = AC * tg β.
2. По условию задачи, даны две стороны прямоугольного треугольника: 6 см и 8 см. Чтобы найти третью сторону треугольника, можно воспользоваться теоремой Пифагора.
Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае, гипотенуза равна третьей стороне треугольника.
Итак, a^2 + b^2 = c^2, где a и b - катеты (известные стороны треугольника), c - гипотенуза (искомая сторона треугольника).
Подставим известные значения: a = 6 см и b = 8 см.
6^2 + 8^2 = c^2,
36 + 64 = c^2,
100 = c^2.
Для нахождения третьей стороны треугольника нужно найти квадратный корень из полученного значения:
c = √100,
c = 10 см.
Таким образом, третья сторона треугольника равна 10 см.
3. В прямоугольном треугольнике cos α = 45. Найдем sin α, tg α и ctg α.
Известно, что угол α является одним из углов прямоугольного треугольника, а cos α равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Таким образом, cos α = AC / BC.
Подставим известное значение: cos α = 45.
AC / BC = 45.
Так как синус угла α равен отношению противоположного катета AC к гипотенузе BC, то sin α = BC / AC.
Из предыдущего равенства получаем:
sin α = 1 / cos α,
sin α = 1 / 45.
Тангенс угла α равен отношению противоположного катета AC к прилежащему катету BC. То есть:
tg α = AC / BC,
tg α = 45.
Котангенс угла α равен обратному значению тангенса. То есть:
ctg α = 1 / tg α,
ctg α = 1 / 45.
Таким образом, sin α = 1 / 45, tg α = 45 и ctg α = 1 / 45.
4. В равнобедренной трапеции ABCD сторона ВС равна 5 см, высота СЕ равна 3√3, а боковая сторона образует с основанием AD угол 60°. Найдем основание AD трапеции ABCD.
Поскольку трапеция ABCD является равнобедренной, то боковые стороны BC и AD равны. То есть, BC = AD.
Рассмотрим треугольник BCE. Угол BCD в этом треугольнике равен 180° - 60° = 120°.
Так как треугольник BCE является равносторонним (ведь углы потому и равны), то CE = 3√3 см (высота дана в условии).
Известно также, что в равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому BE = CE = 3√3 см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDA. Известно, что основание BC равно 5 см, а угол между основанием BC и боковой стороной AD равен 60°.
Таким образом, можно применить функцию косинуса для нахождения значения боковой стороны AD:
cos 60° = BC / AD,
1/2 = 5 / AD.
Теперь найдем значение AD:
AD = (5 / (1/2)),
AD = 5 * 2,
AD = 10 см.
Таким образом, основание AD трапеции ABCD равно 10 см.
5. Чтобы найти углы ромба ABCD, нас интересуют значения углов OAC и OCD, где O - центр ромба (пересечение диагоналей).
Известно, что диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом, и их длины равны 4√3 и 4 метра соответственно.
Так как углы вокруг центра ромба в сумме дают 360°, то в данном случае интересуют нам два угла OAC и OCD.
Поскольку диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом, то углы OAC и OCD равны между собой и каждый из них равен половине угла прямоугольного треугольника AOC.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOC. Длины катетов равны 2√3 и 2 метра, так как диагональ AC равна 4√3 и 4 метра (половина длины диагонали).
Теперь можно найти значения углов OAC и OCD.