Две окружности с центрами в точках о и о1 и радиусами 5 и 3 соответственно касаются сторон угла а(в и в1- точки касания). найдите расстояние между центрами окружностей, если ав1 = 4.
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, ⇒ ∠О₁В₁А = ∠ОВА = 90°. ΔО₁В₁А - прямоугольный, египетский, значит АО₁ = 5. ∠А - общий для треугольников АО₁В₁ и АОВ, значит они подобны по двум углам. О₁В₁ : ОВ = АО₁ : АО 3 : 5 = 5 : АО АО = 5 · 5 / 3 = 25/3 ОО₁ = АО - АО₁ = 25/3 - 5 = 10/3 Так как расстояние между центрами меньше суммы радиусов, то окружности пересекаются.
Постройте рисунок, будет нагляднее. Пусть трапеция ABCD, BC - меньшее основание, AD - большее, AB - боковая сторона с прямыми углами. Тогда углы ADC и ACB по условию равны и равны 60 градусов. Средняя линия равна полусумме оснований, т.е. (BC+AD)/2. Надо найти её отношение к BC, а значит выразить AD через BC или наоборот. Если угол ACB равен 60 градусов, то и угол CAD тоже (не помню верный термин, но потому что AD и BC параллельны). Раз ADC и CAD равны 60, то и ACD равен 60, а значит треугольник ACD - равносторонний. Сторона CD, таким образом, равна AD (и равна AC, но это, как мы увидим, неважно). Опустим из точки C перпендикуляр к основанию AD, допустим в точку H. Если угол CDH равен 60 градусов, то угол DCH будет 30 градусов. Известно, что против угла в 30 градусов лежит сторона, равная половине гипотенузы. Гипотенуза - CD, и мы узнали что она равна AD. То есть DH = 1/2 CD = 1/2 AD, или, иначе говоря, этот перпендикуляр делит нижнее основание пополам. В то же время AH = BC, то есть BC = 1/2 AD, или AD = 2 BC Мы выразили одно основание через другое, подставляем в искомое соотношение: ((BC + AD)/2 ) / BC = (BC + 2 BC) / 2BC = 3/2 Спрашивайте, если что непонятно
Постройте рисунок, будет нагляднее. Пусть трапеция ABCD, BC - меньшее основание, AD - большее, AB - боковая сторона с прямыми углами. Тогда углы ADC и ACB по условию равны и равны 60 градусов. Средняя линия равна полусумме оснований, т.е. (BC+AD)/2. Надо найти её отношение к BC, а значит выразить AD через BC или наоборот. Если угол ACB равен 60 градусов, то и угол CAD тоже (не помню верный термин, но потому что AD и BC параллельны). Раз ADC и CAD равны 60, то и ACD равен 60, а значит треугольник ACD - равносторонний. Сторона CD, таким образом, равна AD (и равна AC, но это, как мы увидим, неважно). Опустим из точки C перпендикуляр к основанию AD, допустим в точку H. Если угол CDH равен 60 градусов, то угол DCH будет 30 градусов. Известно, что против угла в 30 градусов лежит сторона, равная половине гипотенузы. Гипотенуза - CD, и мы узнали что она равна AD. То есть DH = 1/2 CD = 1/2 AD, или, иначе говоря, этот перпендикуляр делит нижнее основание пополам. В то же время AH = BC, то есть BC = 1/2 AD, или AD = 2 BC Мы выразили одно основание через другое, подставляем в искомое соотношение: ((BC + AD)/2 ) / BC = (BC + 2 BC) / 2BC = 3/2 Спрашивайте, если что непонятно
∠О₁В₁А = ∠ОВА = 90°.
ΔО₁В₁А - прямоугольный, египетский, значит АО₁ = 5.
∠А - общий для треугольников АО₁В₁ и АОВ, значит они подобны по двум углам.
О₁В₁ : ОВ = АО₁ : АО
3 : 5 = 5 : АО
АО = 5 · 5 / 3 = 25/3
ОО₁ = АО - АО₁ = 25/3 - 5 = 10/3
Так как расстояние между центрами меньше суммы радиусов, то окружности пересекаются.