Sastd = 67,5+15√3 см².
Объяснение:
Площадь боковой поверхности пирамиды ASTD - это сумма площадей боковых граней ATS, ADS и ATD, так как по принятому обозначению пирамиды ее вершина обозначается первой.
Площадь грани ADS (правильного треугольника) равна
Sads = √3*а²/4 = √3*100/4 = 25√3 см².
Площадь грани ATD (прямоугольного треугольника) равна
Satd = (1|2)*AT*AD = 30 см².
Площадь грани ATS равна
Sasb = Sads = 25√3 см², так как площади граней равны.
Площади треугольников АST и BST имеют общую высоту (высоту грани ASB) и относятся как стороны, к которым проведена эта высота, то есть Sats/Sbts = 3/2. А так как Sasb = Sats+Sbts, то
Sats/Sasb = 3/5. тогда
Sats = (3/5)*Sasb = (3/5)*25√3 = 15,5 см².
Площадь боковой поверхности пирамиды ASTD равна:
Sastd = 25√3 + 30 + 37,5 = 67,5+15√3 см².
P.S. На всякий случай:
Площадь грани STD можем найти по Герону.
По теореме косинусов в треугольнике AST:
ST² = √(AT²+AS²-2*AT*AS*Cos60). (угол SAT = 60, так как грани - правильные треугольники). Тогда
ST = √(136-2*AT*AS*(1/2)) = √76.
DT = √(AT²+AD²) = √136.
SD = 10.
Полупериметр равен (10+√136+√76)/2 и по Герону:
Sstd = √((10+√136+√76)*(10+√76-√136)*(10+√136-√76)*(√136+√76-10))/4 или
Sstd = √((10+√76)²-136)*(136-(10-√76)²)/4 или
Sstd = √((20√76+40)*(20√76-40))/4 или
Sstd = √((30400-1600)/4 = √28800/4 = 120√2/4 =30√2.
Определение: "Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость".
Опустим перпендикуляр С1Н на прямую СD1, лежащую в плоскости А1ВС (это плоскость А1ВСD1, так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости АА1В1В и DD1C1C по параллельным прямым А1В и D1C). Отрезок С1Н перпендикулярен любой прямой, проходящей через точку Н, лежащую в данной плоскости (свойство). Значит <C1HB=90° и искомый угол - это угол С1ВН - угол между наклонной ВС1 м ее проекцией ВН на плоскость А1ВС. В прямоугольном треугольнике С1ВН: синус угла С1ВН - это отношение противолежащего катета С1Н к гипотенузе ВС1.
По Пифагору D1C=√(D1C1²+CC1²) = √(36+64) = 10 ед (так как АВ=D1C1, a AA1=CC1, как боковые ребра параллелепипеда.
Точно так же ВС1=√(ВC²+CC1²) = √(225+64) = 17 ед.
Высота С1Н из прямого угла по ее свойству равна:
С1Н=(С1D1*CC1/D1C = 6*8/10 = 4,8 ед.
Тогда Sinα = C1H/BC1 = 4,8/17 ≈ 0,2823.
α = arcsin0,2823 ≈ 16,4°.