Question

В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, а отношение длин оснований равно m : n(m>n). Найти величину острого угла трапеции Вопрос зачёта

Answer 1

Для начала давайте вспомним основные свойства прямоугольной трапеции.

1) Диагонали в прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны. Это значит, что угол между диагоналями равен 90 градусов.

2) Острый угол трапеции обозначим как α.

3) Отношение длины большего основания к длине меньшего основания равно m : n, где m > n.

Решим задачу пошагово.

Шаг 1: Обозначим длину большего основания как a и длину меньшего основания как b. Тогда отношение длин будет записываться как a : b = m : n.

Шаг 2: Выразим a и b через m и n. Для этого умножим обе части отношения на общий множитель k (можно взять, например, naj).

a : b = m : n

a = (m/n) * b

Шаг 3: Вспомним треугольник, образованный диагоналями и боковыми сторонами трапеции. Формулой теоремы Пифагора для этого треугольника можно найти длину диагонали, проходящей через два угла α и 90 градусов. Обозначим эту диагональ как d.

d^2 = a^2 + b^2

Шаг 4: Зная длины сторон треугольника, можем выразить диагональ d через m и n.

d^2 = (m/n)^2 * b^2 + b^2

d^2 = b^2 * [(m/n)^2 + 1]

Шаг 5: Вспомним определение острого угла трапеции. Острый угол трапеции является углом между основанием и диагональю. Обозначим его α и вспомним, что угол α удовлетворяет условию:

tg(α) = b / (d/2)

Шаг 6: Подставим выражение для d^2 из шага 4 в формулу для tg(α) из шага 5.

tg(α) = b / (√[(m/n)^2 + 1] * b/2)

tg(α) = 2 / √[(m/n)^2 + 1]

Шаг 7: Найдем основное значение острого угла α. Для этого возьмем арктангенс от обеих частей последнего уравнения.

α = arctg(2 / √[(m/n)^2 + 1])

Таким образом, мы получили выражение для нахождения острого угла трапеции, используя известные параметры m и n.