В усеченном конусе радиусы оснований равны 5 см и 3 см. Через две его образующие проведено сечение плоскостью, которая отсекает от оснований дуги по 120°. Найдите площадь (в см²) сечения, если высота усеченного конуса равна √2 см.
—————————
ответ: 12 см²
Объяснение: Основания усеченного конуса параллельны, его образующие равны,⇒ основания сечения лежат в параллельных плоскостях, а плоскость сечения является равнобедренной трапецией.
Радиусы оснований и хорды, соединяющая их концы, образуют равнобедренные треугольники АОВ и СО1D c углами при вершинах О и О1, равными величине отсекаемых плоскостью сечения дуг, т.е. 120°.
Из суммы углов треугольника острые углы этих треугольников (180°-120°):2=30°.
По т. синусов АВ:sin120°=ОВ:sin30°, откуда АВ=5√3.
Аналогично СD=3√3
По свойству катета, противолежащего углу 30°, катет О1М=0,5•О1С=3/2 см.
Аналогично ОN=0,5•ОВ=0,5•5=2,5 см.
Для нахождения высоты MN трапеции АВСD проведем высоты(медианы) О1М в ∆ СO1D и ON в ∆ ВOA и опустим из М перпендикуляр МН на ОN.
ОН⊥АВ ⇒ по т. о 3-х перпендикулярах MN⊥АВ. MN - высота сечения.
OH=O1M=1,5 см
НN=2,5-1,5=1 MH=O1O=√2 см
В прямоугольном треугольнике МНN по т.Пифагора МN=√(MN^2+NH^2)=√(2+1)=√3 см
Площадь трапеции равна произведению её высоты на полусумму оснований.
S(ABCD)=MN•(CD+AB)•1/2=(3√3+5√3)•1/2=12 (см²)
Задачу можно решить двумя обычным и через sin))) Какой вам лучше, выбирайте сами.
Обозначим параллелограмм, как АВСД
ВН - высота, опущенная на сторону АД
АН = 4 см, НД = 2 см.
АД = АН + НД = 4 + 2 = 6 см.
параллелограмма = АД × ВН
Угол В = 135 - 90 = 45 градусов (т.к. ВН - высота, следовательно, она опущена под углом 90 градусов)
Рассмотрим треугольник АВН. Угол ВНА = 90 градусов, АВН = 45 градусов, следовательно угол ВАН = 180 - 90 - 45 = 45 градусов. Значит треугольник АВН - равнобедренный
Следовательно, ВН=АН=4 см.
S параллелограмма = 6 × 4 = 24
параллелограмма = АВ × АД × sin a
Sin а = 45 градусов = √2 делённое на 2
АВ² = √ВН² + АН² = √4² + 4² = √32
S параллелограмма = √32 × 6 × √2 делённое на 2 = 24