Пусть АВСД - трапеция, у которой углы В и С - прямые (АВ - большее основание, СД - меньшее основание) . Проведем из тупого угла Д высоту на основание АВ (получим точку Е) , а из центра вписанной окружности - перпендикуляры (радиусы) на сторону АД и основание СД. Получим точку М (на основании СД) и точку N - на стороне АД. МД=NД = 4. Тогда АЕ = (АВ+R - СД-R) = 25-4=21. Из прямоугольного треугольника АДЕ по теореме Пифагора находим высоту трапеции: = (29^2-21^2)^(1/2)=20. Одновременно это и диаметр вписанной окружности. Тогда СД =СМ+МД= 10+4=14, АВ=10+25=35. Площадь трапеции: (14+35)*20/2=490.
Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с. вычисляется по формуле r=(a+b-c):2
--------
Вписанная окружность делит стороны треугольника на отрезки, равные от вершины до точек касания.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
Если катеты равны a и b, то расстояние от вершины угла до точки касания равно:
на катете а =a-r,
на катете b=b-r.
Гипотенуза с равна сумме отрезков касательных из острых углов до точек касания.
с=a-r+b-r= a+b-2r
c-(a+b)=-2r домножим обе части уравнения на -1
r=(a+b-c):2, что и требовалось доказать.