Сечение полушара плоскостью "другого" основания - это (само собой) окружность, причем это окружность, описанная вокруг правильного треугольника, который является этим основанием. Радиус этого сечения r, высота призмы h (то есть расстояние от центра шара до плоскости сечения) и радиус шара R = 8 связаны теоремой Пифагора, то есть r^2 = R^2 - h^2; Сторона правильного треугольника связна с радиусом описанной окружности известным элементарным соотношением r^2 = a^2/3; а площадь S основания призмы равна S = a^2*√3/4 = r^2*3√3/4 = (3√3/4)*(R^2 - h^2); Объем, само собой, равен V = S*h = (3√3/4)*(R^2 - h^2)*h; В точке экстремума V'(h) = (3√3/4)*(R^2 - 3*h^2) = 0; то есть h = R/√3; Поскольку V(h) = 0; при h = 0 и h = R; V(h) > 0 при 0 < h < R; и экстремум только один, то экстремум - это максимум. Значение V в точке максимума равно V = R^3/2;
Розглянемо рівнобедренний прямокутний трикутник із катетом а. Радіус кола вписаного в нього буде дорівнювати: Це за формулою для радіуса кола вписаного в прямокутний трикутник: Радіуси менших кіл (див. рис.): За умовою задачі площа великого кола вдвічі більша за площу маленького кола, тобто відношення їх радіусів дорівнює Знайдемо відношення радіусів відповідних кіл для нашого рівнобедренного прямокутного трикутника, тобто: Тобто має таку саму величину, як і по умові задачі. Покажемо, що для іншого виду прямокутних трикутників, крім рівнобедринних, такого відношення між радіусами кіл, що вказані в умові, бути не може. Радіус кола вписаного в прямокутний трикутник обчислюєтсья за формулою: де s= а*в/2 - площа прямокутного трикутника Цей добуток а*в, як відомо, буде найбільший, коли а=в, тобто катети прямокутного трикутника рівні між собою. Всі інші вписані кола в любі інші прямокутні трикутники, за площею будуть менші від кола вписаного в рівнобедринний прямокутний трикутник, тобто умова задачі в цьому випадку виконуватись не буде. Значить гострі кути цього прямокутного трикутника рівні і дорівнюють 45. Відповідь:
де s= а*в/2 - площа прямокутного трикутника
Радиус этого сечения r, высота призмы h (то есть расстояние от центра шара до плоскости сечения) и радиус шара R = 8 связаны теоремой Пифагора, то есть
r^2 = R^2 - h^2;
Сторона правильного треугольника связна с радиусом описанной окружности известным элементарным соотношением
r^2 = a^2/3;
а площадь S основания призмы равна
S = a^2*√3/4 = r^2*3√3/4 = (3√3/4)*(R^2 - h^2);
Объем, само собой, равен
V = S*h = (3√3/4)*(R^2 - h^2)*h;
В точке экстремума
V'(h) = (3√3/4)*(R^2 - 3*h^2) = 0; то есть h = R/√3;
Поскольку V(h) = 0; при h = 0 и h = R; V(h) > 0 при 0 < h < R; и экстремум только один, то экстремум - это максимум. Значение V в точке максимума равно
V = R^3/2;