Даны плоскость , прямая и точка .Найти уравнение прямой, проходящей через точку M параллельно заданной плоскости так, чтобы она пересекала данную прямую и найти эту точку пересечения.
Для решения данной задачи, нам понадобится найти вектор нормали плоскости и направляющий вектор прямой. Затем, используя эти векторы, мы сможем найти уравнение прямой и точку ее пересечения с данной прямой.
1. Найдем вектор нормали плоскости:
Уравнение плоскости дано в общем виде: x - 2y - 2z + 22 + 3 = 0.
Нормальный вектор плоскости задается коэффициентами при x, y, z:
n = (1, -2, -2).
2. Найдем направляющий вектор прямой:
Уравнение прямой дано в параметрической форме: x/2 = (y-2)/1 = (z-11+6)/2.
Направляющий вектор прямой выражается через коэффициенты в уравнении, стоящие перед x, y, z:
v = (2, 1, 2).
3. Найдем уравнение прямой:
Так как прямая должна быть параллельна плоскости, то ее вектор направляющий должен быть коллинеарен вектору нормали плоскости. Для этого, разделим компоненты вектора направляющего на соответствующие компоненты вектора нормали и найдем общий множитель:
k = 2/1 = 1/-2 = 2/-2 = -1.
Таким образом, уравнение прямой имеет вид:
x = 1 + 2t,
y = -3 + t,
z = 12 + 2t,
где t - параметр.
4. Найдем точку пересечения прямой и заданной прямой:
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение заданной прямой и найдем значение параметра t:
(1 + 2t)/2 = (-3 + t - 2)/1 = (12 + 2t - 11 + 6)/2.
Решим полученную систему уравнений, подставив значение t в одно из уравнений и найдем координаты точки пересечения.
Для примера, возьмем первые два уравнения:
(1 + 2t)/2 = (-3 + t - 2)/1,
(1 + 2t)/2 = (t - 5)/1,
1 + 2t = 2t - 10,
1 = -10.
Получили противоречие, значит, точки пересечения нет.
Это означает, что заданная прямая и искомая прямая не пересекаются.
Итак, уравнение прямой, проходящей через точку M параллельно заданной плоскости, имеет вид:
x = 1 + 2t,
y = -3 + t,
z = 12 + 2t.
Точки пересечения заданной прямой и искомой прямой не существует.
, прямая 
и точка 
.Найти уравнение прямой, проходящей через точку M параллельно заданной плоскости так, чтобы она пересекала данную прямую и найти эту точку пересечения.
1. Найдем вектор нормали плоскости:
Уравнение плоскости дано в общем виде: x - 2y - 2z + 22 + 3 = 0.
Нормальный вектор плоскости задается коэффициентами при x, y, z:
n = (1, -2, -2).
2. Найдем направляющий вектор прямой:
Уравнение прямой дано в параметрической форме: x/2 = (y-2)/1 = (z-11+6)/2.
Направляющий вектор прямой выражается через коэффициенты в уравнении, стоящие перед x, y, z:
v = (2, 1, 2).
3. Найдем уравнение прямой:
Так как прямая должна быть параллельна плоскости, то ее вектор направляющий должен быть коллинеарен вектору нормали плоскости. Для этого, разделим компоненты вектора направляющего на соответствующие компоненты вектора нормали и найдем общий множитель:
k = 2/1 = 1/-2 = 2/-2 = -1.
Таким образом, уравнение прямой имеет вид:
x = 1 + 2t,
y = -3 + t,
z = 12 + 2t,
где t - параметр.
4. Найдем точку пересечения прямой и заданной прямой:
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение заданной прямой и найдем значение параметра t:
(1 + 2t)/2 = (-3 + t - 2)/1 = (12 + 2t - 11 + 6)/2.
Решим полученную систему уравнений, подставив значение t в одно из уравнений и найдем координаты точки пересечения.
Для примера, возьмем первые два уравнения:
(1 + 2t)/2 = (-3 + t - 2)/1,
(1 + 2t)/2 = (t - 5)/1,
1 + 2t = 2t - 10,
1 = -10.
Получили противоречие, значит, точки пересечения нет.
Это означает, что заданная прямая и искомая прямая не пересекаются.
Итак, уравнение прямой, проходящей через точку M параллельно заданной плоскости, имеет вид:
x = 1 + 2t,
y = -3 + t,
z = 12 + 2t.
Точки пересечения заданной прямой и искомой прямой не существует.