1. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны с коэффициентом подобия, равным отношению сходственных сторон. k=ВС/В1С1 = 4/8 = 1/2.
Периметр Рa1b1c1 = 3+8+9 = 20см.
В подобных треугольниках периметры относятся как коэффициент подобия. Тогда Рabc = Рa1b1c1*k = 20/2 = 10 см.
2. Треугольник КСР подобен треугольнику АСВ по двум углам (<CKP=<CAB и <CPK=<CBA как соответственные углы при параллельных прямых КР и АВ и секущих АС и ВС соответственно. Из подобия: КС/АС = КР/АВ = 5/25 = 1/5.
Тогда КС = АС*(1/5) = 30/5 = 6 см. АК = АС - КС = 30-6 = 24 см.
3. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон (свойство). То есть
АС/АВ = СК/КВ => AC = AB*CK/KB = 12*18/8 = 27см.
4. Сторона АС = AD+DC = 9+16 = 25 см.
BD - высота из прямого угла и по ее свойствам имеем:
АВ = √АС*AD = √(25*9) = 15см.
ВС = √АС*DС = √(25*16) = 20см.
Периметр треугольника АВС - сумма его трех сторон - равен 60см.
4)
CE =BC/2 =AC/2
CE:AC:AE = 1:2:√5 (по теореме Пифагора)
DE =AC/2 (средняя линия в ABC)
CE:DE:CD = 1:1:√2
AE:CD = √5:√2 <=> AE^2:CD^2 = 5:2
5)
В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса к основанию совпадают.
Медианы треугольника делятся в отношении 2:1 от вершины.
BH - медиана и высота, BM:MH=2:1, MH=16, BH=MH*3=48.
Биссектриса делит сторону треугольника в отношении прилежащих сторон.
DH=18, BD=48-18=30
BH - биссектриса и высота, AB:AH=BD:DH =30:18=5:3
BAH - египетский треугольник, AH=3x, BH=4x, AB=5x
P(ABC)=16x =BH*4=192
7)
AD - биссектриса, BM - медиана. Точка D на медиане, BD=5, MD=2.
Биссектриса делит сторону треугольника в отношении прилежащих сторон.
AB:AM =BD:MD =5:2
AM=AC/2 => AB:AC =5:4
ABC - египетский треугольник, BC=3x, AC=4x, AB=5x
BM=√(CM^2+BC^2) =x√13
AB=BM*5/√13 =35/√13 ~9,7