Question

На рисунке изображена вертикальная призма, основания которой - прямоугольные треугольники. Сторона треугольника 5 см, высота призмы 10 см. Найдите угол между плоскостями AEF и BCFE.​

Answer 1

Для начала, мы должны разобраться в строении данной призмы и определить, какие плоскости в ней существуют.

На рисунке мы видим два прямоугольных треугольника: ABC и DEF, которые являются основаниями призмы. Плоскость AEF проходит через вершины A, E и F, а плоскость BCFE проходит через вершины B, C, F и E.

Возьмем сторону треугольника ABC (AB) и обозначим ее за "a". В данном случае, a = 5 см. Мы также знаем, что высота призмы (AD) равна 10 см.

1. Найдем высоту треугольника ABC (AH) с использованием величины стороны треугольника и теоремы Пифагора:
AH^2 = AB^2 - BH^2
AH^2 = 5^2 - (a/2)^2
AH^2 = 25 - (5/2)^2
AH^2 = 25 - 6.25
AH^2 = 18.75
AH ≈ √18.75
AH ≈ 4.33 см

2. Так как плоскость AEF проходит через вершины A, E и F, мы можем рассмотреть треугольник AEF. Так как сторона EF (равная высоте призмы) параллельна плоскости AEF, то высота треугольника AEF равна DH. Также, сторона AF равна HF (BH + HP). Поскольку AH равна 4.33 см, то HF = BH + HP = AH + a.
HF = 4.33 + 5
HF ≈ 9.33 см

Используя формулу тангенса, мы можем найти угол AEF:
tan(AEF) = AH / HF
tan(AEF) = 4.33 / 9.33
AEF ≈ arctan(4.33 / 9.33)
AEF ≈ 25.9°

3. Мы знаем, что плоскость BCFE проходит через вершины B, C, F и E. Поскольку сторона EF (равная высоте призмы) параллельна плоскости BCFE, то угол между плоскостями AEF и BCFE (это же угол между плоскостями AEF и FCB) равен углу FCB.

В треугольнике FCB, мы можем найти угол FCB, зная стороны CF и HF. Сторона CF равна a и составляет 5 см, а сторона HF равна 9.33 см.

Используя формулу тангенса, мы можем найти угол FCB:
tan(FCB) = CF / HF
tan(FCB) = 5 / 9.33
FCB ≈ arctan(5 / 9.33)
FCB ≈ 29.6°

Таким образом, угол между плоскостями AEF и BCFE (то есть, угол между плоскостями AEF и FCB) составляет около 29.6°.