Трапеция АВСД, если в трапецию вписана окружность, то такая трапеция равнобокая,
АВ=СД, точка М -касание окружности на АВ, точка Н - касание на ВС, точкаР - касание на СД. точка К -касание на АД
АМ=b, BM=a
АМ=АТ=b - как касательные проведенные из одной точки = ДК=ДР =b, угол А=уголД
уголВ=уголС, ВМ=ВН=СН=СР=а - как касательные, ВС=ВН+СН=а+а=2а, АД = АК+ДК=
=b+b=2b, АВ=СД=b+а
проводим высоты ВТ и СЛ на АД, треугольники АВТ и ДСЛ равны как прямоугольные треугольники по гипотенузе (АВ=СД) и острому углу (уголА=уголД). четырехугольник ТВСЛ - прямоугольник ВС=ТЛ =2а, АТ=ДЛ = (АД-ВЛ)/2= (2b-2а)/2=b-а
Векторы AD и ВС равны, так как равны их модули (противоположные стороны параллелограмма) и они сонаправлены. Тогда мы можем найти модуль вектора АС по теореме косинусов. АС|=√(АВ²+ВС²-2*АВ*ВС*Cos120°). Или |АС|=√(9+25+2*3*5*1/2) (так как угол АВС тупой) =7. Тогда косинус угла ВАС равен из этой же теоремы Cos(<BAC)= (a²+b²-c²)/(2ab) (угол образован сторонами а и b) или Cos(<BAC)=(9+49-25).(2*3*7)=0,786 (примерно). Искомый угол по таблице равен 38,2°.
Или так: введем систему координат с точкой их пересечения в начале вектора А. Тогда имеем точки: А(0;0), В(1,5;3√3/2), С(6,5;3√3/2) Вектор AВ{1,5;3√3/2}, |AB| = 3. Вектор АС{6,5;3√3/2}, |AC|=√(42,25+6,75)= √49=7. Cos(<BAC)= (Xab*Xac+Yab*Yac)/(|AB|*|AC|) или Cos(<BAC)=(9,75+6,75)/(3*7) ≈ 0,786. <BAC ≈ 38,2°
Векторы AD и ВС равны, так как равны их модули (противоположные стороны параллелограмма) и они сонаправлены. Тогда мы можем найти модуль вектора АПС по теореме косинусов. |АС|=√(9+25+2*3*5*1/2) (так как угол АВС тупой) =7. Тогда косинус угла ВАС равен из этой же теоремы Cos(<BAC)= (a²+b²-c²)/(2ab) (угол образован сторонами а и b) или Cos(<BAC)=(9+49-25).(2*3*7)=0,786 (примерно). Угол по таблице равен 38,2°.
Или так: введем систему координат с точкой их пересечения в начале вектора А. Тогда имеем точки: А(0;0), В(1,5;3√3/2), С(6,5;3√3/2) Вектор AВ{1,5;3√3/2}, |AB| = 3. вектор АС{6,5;3√3/2}, |AC|=√(42,25+6,75)= √49=7. Угол между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на протзведение их модулей. Cos(<BAC)= (Xab*Xac+Yab*Yac)/(|AB|*|AC|) или Cos(<BAC)=(9,75+6,75)/(3*7) ≈ 0,786. <BAC ≈ 38,2°
Трапеция АВСД, если в трапецию вписана окружность, то такая трапеция равнобокая,
АВ=СД, точка М -касание окружности на АВ, точка Н - касание на ВС, точкаР - касание на СД. точка К -касание на АД
АМ=b, BM=a
АМ=АТ=b - как касательные проведенные из одной точки = ДК=ДР =b, угол А=уголД
уголВ=уголС, ВМ=ВН=СН=СР=а - как касательные, ВС=ВН+СН=а+а=2а, АД = АК+ДК=
=b+b=2b, АВ=СД=b+а
проводим высоты ВТ и СЛ на АД, треугольники АВТ и ДСЛ равны как прямоугольные треугольники по гипотенузе (АВ=СД) и острому углу (уголА=уголД). четырехугольник ТВСЛ - прямоугольник ВС=ТЛ =2а, АТ=ДЛ = (АД-ВЛ)/2= (2b-2а)/2=b-а
треугольник АВТ прямоугольный, ВТ - высота=диаметр вписанной окружности =
корень (АВ в квадрате - АТ в квадрате) = (b+а) в квадрате - (b-а) в квадрате = 4аb
радиус = высота/2 = 4аb/2=2аb