Пусть нижнее основание равно а, верхнее равно b, боковая сторона равна с, угол при нижнем основании равен α.
У трапеции, в которую вписана окружность, боковая сторона равна средней линии: с = (a + b)/2.
Используем формулу площади трапеции:
S = ((a+b)/2)*h = ((a+b)/2)*√(ab).
Получаем первое уравнение: ((a+b)/2)*√(ab) = 576 или
(a+b)*√(ab) = 1152.
Теперь используем заданное условие: расстояние между точками касания этой окружности боковых сторон равно 3.
Выразим расстояние t между точками касания.
t = b+2(b/2)*cos α = b(1 + cos α) = 3.
Косинус альфа выразим так:
cos α = ((a - b)/2)/c = ((a - b)/2)/((a + b)/2) = (a - b)/(a + b).
Тогда второе уравнение получим в виде:
b(1 + ((a - b)/(a + b))) = 3.
Решаем систему из двух уравнений с неизвестными a и b.
{(a+b)*√(ab) = 1152.
{b(1 + ((a - b)/(a + b))) = 3.
Решение даёт значение оснований трапеции:
a = 12(√15 + 4) ≈ 94,4758.
b = -12(√15 - 4) ≈ 1,5242.
Находим радиус r вписанной окружности.
r = h/2 = √(ab)/2 = 6.
ответ: радиус равен 6.
Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α.
Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору
АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3.
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°.
Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²