Question

Найдите радиус вписанной в треугольник окружности, если его стороны равны: 1)5; 4; 17(под корнем) 2)5; 6; 9.

Answer 1

Воспользуемся следующей формулой радиуса вписанной в треугольник окружности:

$r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$, где р - полупериметр треугольника, а, b, c - его стороны.

Начнём со второго задания, оно менее громоздкое:

2) $p=\frac{5+6+9}{2}=10\\\\r=\sqrt{\frac{(10-5)(10-6)(10-9)}{10}}=\sqrt{\frac{5\cdot4\cdot1}{10}}=\sqrt{\frac{20}{10}}=\sqrt2$

1) С первым чуть сложнее, сильно громоздко получается, в "Латексе" долго набирать, но щас сделаю. Отметишь ещё раз как нарушение - дальше сама решать будешь... ))

$p=\frac{4+5+\sqrt{17}}{2}=\frac{9+\sqrt{17}}{2}$

$r=\sqrt{\frac{(\frac{9+\sqrt{17}}{2}-4)(\frac{9+\sqrt{17}}{2}-5)(\frac{9+\sqrt{17}}{2}-\sqrt{17})}{\frac{9+\sqrt{17}}{2}}}=\\\\=\sqrt{\frac{(9+\sqrt{17}-8)(9+\sqrt{17}-10)(9+\sqrt{17}-2\sqrt{17})}{2}\cdot\frac{2}{9+\sqrt{17}}}=\\\\=\sqrt{\frac{(\sqrt{17}+1)(\sqrt{17}-1)(9-\sqrt{17})}{2}\cdot\frac{2}{9+\sqrt{17}}}=\\\\=\sqrt{\frac{(17-1)(9-\sqrt{17})}{9+\sqrt{17}}}=\sqrt{\frac{16(9-\sqrt{17})}{9+\sqrt{17}}}=4\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{9+\sqrt{17}}}=$

$4\sqrt{\frac{(9-\sqrt{17})(9+\sqrt{17})}{(9+\sqrt{17})(9+\sqrt{17})}}=4\sqrt{\frac{81-17}{(9+\sqrt{17})^2}}=4\sqrt{\frac{64}{(9+\sqrt{17})^2}}=4\cdot\frac{8}{(9+\sqrt{17})}=\\\\=\frac{32}{(9+\sqrt{17})}$