Дано: Треугольник АВС, АВ=ВС, АС=12 см Окружность с центром в точке О вписана в треугольник АВС. KL, MN, PQ - касательные. P(KBL) + P(MCN) + P(PAQ) = 48 см
Найти: АВ
Решение: Проведем радиусы окружности в точки касания (OX, OY, OZ и другие). Рассмотрим треугольник KBL. Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны. Значит, KX=KY, LY=LZ. Таким образом, периметр треугольника KBL можно переписать в виде: Р(KBL)=BK+BL+KY+LY=BK+BL+KX+LZ Аналогично, можно переписать выражения для периметров треугольников MCN и PAQ (очередной отрезок заменяется на равный, который в отличие от предыдущего является частью периметра треугольника АВС). Получившаяся сумма периметров всех трех треугольников будет равна периметру треугольника АВС. P(KBL) + P(MCN) + P(PAQ) = P(АВС) = 48 P(АВС) = AB+ BC + AC Так как треугольник равнобедренный, то: P(АВС) = 2AB+ AC Подставляем известные величины: 48 = 2AB+ 12 2AB = 36 АВ = 18 (см) ответ: 18 см
Треугольник АВС, АВ=ВС, АС=12 см
Окружность с центром в точке О вписана в треугольник АВС.
KL, MN, PQ - касательные.
P(KBL) + P(MCN) + P(PAQ) = 48 см
Найти: АВ
Решение:
Проведем радиусы окружности в точки касания (OX, OY, OZ и другие).
Рассмотрим треугольник KBL. Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны. Значит, KX=KY, LY=LZ. Таким образом, периметр треугольника KBL можно переписать в виде:
Р(KBL)=BK+BL+KY+LY=BK+BL+KX+LZ
Аналогично, можно переписать выражения для периметров треугольников MCN и PAQ (очередной отрезок заменяется на равный, который в отличие от предыдущего является частью периметра треугольника АВС).
Получившаяся сумма периметров всех трех треугольников будет равна периметру треугольника АВС.
P(KBL) + P(MCN) + P(PAQ) = P(АВС) = 48
P(АВС) = AB+ BC + AC
Так как треугольник равнобедренный, то:
P(АВС) = 2AB+ AC
Подставляем известные величины:
48 = 2AB+ 12
2AB = 36
АВ = 18 (см)
ответ: 18 см