Question

Подробно с дано и решение и рисунок . высота правильной треугольной пирамиды высота равна 6 см а двугранный угол при стороне основания равен 45 градусов. найдите боковую площадь. поверхности пирамиды.

Answer 1

Проведём высоты СН и DН основания пирамиды и боковой грани, соответственно. Двугранный угол при стороне основания, равный 45 градусов, это и есть линейный угол DНС.

Вершина правильной пирамиды проецируется в центр основания, в нашем случае это точка пересечения медиан (и биссектрис и высот в одном лице).

Рассмотрим ΔDОН (на рисунке - жёлтым):

Он прямоугольный, один из острых углов равен 45⁰, значит это равнобедренный треугольник, ОН=ОD=6 см.

Таким образом, высота боковой грани DH равна:

$DH=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt2$ см

Теперь находим сторону основания.

Вспоминаем, что медианы треугольника точкой пересечения делятся на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Значит медиана СН=6*3=18 см

В ΔАНС (на рисунуе - зелёным) угол НСА=30⁰, значит $AH=\frac{AC}{2}$

Обозначив сторону основания за Х, получим уравнение:

$x^2=(\frac{x}{2})^2+18^2\\\\x^2-\frac{x^2}{4}=324\\\\\frac{4x^2-x^2}{4}=324\\\\3x^2=1296\\\\x^2=432\\\\x=\sqrt{432}=12 \sqrt3\ cm$

Находим площадь боковой поверхности:

$S_6_o_k=3\cdot\frac{12\sqrt{3}\cdot6\sqrt{2}}{2}=3\cdot\frac{72\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{2}=3\cdot36\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=108\sqrt{6}\ cm^2$

Answer 2

Дано: SABC- пирамида

SO-высота

SO=6

<SKO=45

Найти Sбок

Решение

1) ΔSOK равнобедренный(<K=45,<O=90,<S=45), значит SO=OK=6

2)По т Пифагора найдем SK

SK=√(6*6+6*6)=6√2(апофема=L)

3) ОК-радиус вписанной окружности

r=a/2√3, a=r*2√3=6*2√3=12√3

4) S=0.5*P*L=0.5*(3*12√3)*6√2=108√6

ответ 108√3