Теорема.
Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, притом только один.
Доказательство:
1) смотри рисунок 1
Пусть А - точка, не лежащая на данной прямой a. Докажем, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой a. Мысленно перегнем плоскость по прямой a так, чтобы полуплоскость с границей А, содержащая точку А, наложилась на другую полуплоскость. При этом точка A наложится на некоторую точку. Обозначим ее буквой B. Разогнем плоскость и проведем через точки A и B прямую.
Пусть H – точка пересечения прямых AB и a. При повторном перегибании плоскости по прямой a точка H останется на месте. Поэтому луч HA наложится на луч HB, и, следовательно, угол 1 совместится с углом 2. Таким образом, ∠1 = ∠2. Так как углы 1 и 2 – смежные, то их сумма равна 180°, поэтому каждый из них – прямой. Следовательно, отрезок AH – перпендикуляр к прямой a.
2) смотри рисунок 2
Допустим, что таких перпендикуляров существует два. Тогда получим треугольник ABC с двумя прямыми углами, ведь АВ и АС - перпендикулярны. Но этого быть не может. Следовательно, наше предположение о том, что через одну точку к данной прямой на плоскости можно провести больше одного перпендикуляра, - не верно и такой перпендикуляр существует только один.
1)Из центра O окружности, вписанной в трапецию, восстановлен перпендикуляр OM к плоскости трапеции.
Найдите радиус окружности, если расстояния от точки M до одной из сторон трапеции и до ее плоскости равны 3 см и 3,4 см.
Сделаем рис.№1. Обозначим расстояние от М до стороны трапеции МН.
Расстояние между точкой и плоскостью измеряется длиной отрезка, перпендикулярного плоскости.
Следовательно, ОМ=3 cм, а расстояние МН от М до стороны трапеции=3,4 cм, так как перпендикуляр всегда короче наклонной, а МН - наклонная, проведенная перпендикулярно стороне трапеции. Любой стороне.
Ее проекция ОН также будет перпендикулярной этой стороне ( теорема о трех перпендикулярах).
Причем это относится к любой стороне трапеции - перпендикуляр из О к стороне трапеции пересекает ее в точке касания окружности и стороны, являющейся в данном случае касательной к окружности.
Этот перпендикуляр - проекция расстояния от М до стороны - и будет радиусом вписанной окружности. Найдем его по т. Пифагора:
ОН= √(МН²-ОМ²)=1,6 см
ответ: Радиус окружности равен 1,6 см
2) Из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные, проекции которых равны 4 и 11 см.
Найдите длину перпендикуляра, если наклонные относятся как 2:5
Сделаем рисунок №2,
обозначим вершины получившейся фигуры привычными А, В, С.
Рассмотрим треугольник АВС, который образован наклонными АВ и ВС и их проекциями АН и НС.
Высота ВН- искомый перпендикуляр- может быть найдена из треугольников АВН и ВСН.
Выразим ее значение из этих треугольников по т.Пифагора.
ВН²=АВ²-АН²
ВН²=ВС²-НС²
Приравняем эти значения:
АВ²-АН²=ВС²-НС²
Пусть коэффициент отношения наклонных равен х. Тогда
4х²-16=25х²-121
21х²=105
х²=5
х=√5
ВН²=АВ²-АН²
ВН²=20-16=4
ВН= √4=2 см
ответ: Длина перпендикуляра - 2 см