1. Угол между наклонной к плоскости и плоскостью - это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. Искомый угол - угол МАО. Высота правильного треугольника равна h=(√3/2)*a = (√3/2)*2√3=3. АО=(1/3)*h = 1 (свойство медианы). Tg(<MAO) = MO/AO = √3.
ответ: α = arctg√3 = 60°
2. Искомый угол - угол между наклонной и ее проекцией, то есть угол АВК. Sin(<ABK) = KA/KB = AC*tg60/5 = 5√3/11. <ABK = arcsin(0,787) ≈ 51,9°.
3. Опустим перпендикуляры SP и SH из точки S к сторонам АВ и АD соответственно. Прямоугольные треугольники APS и AHS равны по гипотенузе и острому углу. Значит АР=АН и АРОН - квадрат. тогда АО = АН*√2 (диагональ квадрата), АS = 2*АН (в треугольнике ASH катет АН лежит против угла 30°, а AS - гипотенуза). Косинус искомого угла (между наклонной AS и плоскостью АВСD, равного отношению проекции наклонной к наклонной) = АО/AS = АН√2/(2*АН) = √2/2.
ответ: искомый угол равен 45°.
площадь трапеции находим по формуле S=(a+b)/2*h, где a и b - основания, h - высота. тогда проведем высоту h. синус угла при основании трапеции равен h/b. тогда р= b*синус альфа. по теореме пифагора находим маленький участок большего основания трапеции и он равен (корень квадратный из b^2-b^2*sin^2). Значит большее основание равно (b+2*корень квадратный из b^2-b^2*sin^2). Подставляем в формулу: S=(b+b+2*корень квадратный из b^2-b^2*sin^2)/2*b*sin=(преобразуем) b^2*sin*(1+модуль cos)