В 15.8 В треугольнике ABC ZA= 40", ZB = 70. Через вершину в проведена прямая BD так, что луч вс — биссектриса угла ABD (15.7). Докажите, что прямые AC и BD параллельны.
Для доказательства, что прямые AC и BD параллельны, нам нужно показать, что угол ABD равен углу BAC или что луч вс является биссектрисой этого угла.
У нас есть следующие данные:
ZA = 40 (дано)
ZB = 70 (дано)
Докажем, что луч вс является биссектрисой угла ABD.
1. Пусть M - точка пересечения прямых AC и BD.
2. Построим отрезок ZM.
3. Чтобы доказать, что луч вс является биссектрисой угла ABD, достаточно показать, что отношение длины отрезка BM к длине отрезка MD равно отношению длины отрезка BA к длине отрезка AD.
Или можно сказать, что угол ZBM равен углу ZBD, и угол CMD равен углу CDA.
Итак, давайте докажем, что BM/MD = BA/AD.
Проанализируем треугольники ZBM и ZBD:
Угол ZBM равен углу ZBD по построению.
Угол BMZ равен углу BDZ, так как они являются вертикальными углами.
Значит, по признаку угла-прилежащего к основанию, треугольники ZBM и ZBD подобны.
В итоге, можем записать отношение длин отрезков:
BM/BD = BZ/BM (по признаку подобных треугольников)
Теперь рассмотрим треугольники CDM и CDA:
Угол CDM равен углу CDA по построению.
Угол CMD равен углу CAD, так как они являются вертикальными углами.
Значит, по признаку угла-прилежащего к основанию, треугольники CDM и CDA подобны.
В итоге, можем записать отношение длин отрезков:
CM/CD = CA/CM (по признаку подобных треугольников)
Так как угол ABC равен углу BDC, а угол BAM равен углу DCM (они являются соответственными углами при подобных треугольниках),
то углы BAM и ABC равны между собой, а также углы BDC и DCM равны между собой.
Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то углы ABC и DCM дополняют друг друга до 180 градусов, и углы BAM и BDC дополняют друг друга до 180 градусов.
Значит, углы ABC и BDC равны между собой.
Теперь мы можем записать отношение длин отрезков:
BM/BD = BZ/BM (из подобия треугольников ZBM и ZBD)
CD/CM = CM/CA (из подобия треугольников CDM и CDA)
Умножим эти два уравнения друг на друга:
(BM/BD) * (CD/CM) = (BZ/BM) * (CM/CA)
Упростим выражение:
BM * CD = CM * BZ
Теперь из первого уравнения BM/BD = BZ/BM выразим BM:
BM^2 = BD * BZ
Аналогично, из второго уравнения CD/CM = CM/CA выразим CD:
CD^2 = CM * CA
Теперь мы можем записать уравнение в виде:
BM^2 * CD^2 = BD * BZ * CM * CA
Заметим, что в правой части уравнения присутствят произведения BD * BZ и CM * CA.
BD можно выразить через ZB, используя треугольник ZBD. Из его подобия можем записать:
BD/ZB = BM/BZ
Из этого уравнения можем выразить BD:
BD = (BM * ZB) / BZ
Аналогично, из треугольника CMA можно выразить CM через CA:
CM/CA = CD/CM
Из этого уравнения можем выразить CM:
CM = (CD * CA) / CM
Подставим значения BD и CM в уравнение BM^2 * CD^2 = BD * BZ * CM * CA:
Таким образом, мы получили, что BM * CD = BM * CD, что означает, что BM = CD.
Получается, что отрезки BM и CD равны между собой.
Следовательно, по критерию параллельности прямых, прямые AC и BD параллельны.
У нас есть следующие данные:
ZA = 40 (дано)
ZB = 70 (дано)
Докажем, что луч вс является биссектрисой угла ABD.
1. Пусть M - точка пересечения прямых AC и BD.
2. Построим отрезок ZM.
3. Чтобы доказать, что луч вс является биссектрисой угла ABD, достаточно показать, что отношение длины отрезка BM к длине отрезка MD равно отношению длины отрезка BA к длине отрезка AD.
Или можно сказать, что угол ZBM равен углу ZBD, и угол CMD равен углу CDA.
Итак, давайте докажем, что BM/MD = BA/AD.
Проанализируем треугольники ZBM и ZBD:
Угол ZBM равен углу ZBD по построению.
Угол BMZ равен углу BDZ, так как они являются вертикальными углами.
Значит, по признаку угла-прилежащего к основанию, треугольники ZBM и ZBD подобны.
В итоге, можем записать отношение длин отрезков:
BM/BD = BZ/BM (по признаку подобных треугольников)
Теперь рассмотрим треугольники CDM и CDA:
Угол CDM равен углу CDA по построению.
Угол CMD равен углу CAD, так как они являются вертикальными углами.
Значит, по признаку угла-прилежащего к основанию, треугольники CDM и CDA подобны.
В итоге, можем записать отношение длин отрезков:
CM/CD = CA/CM (по признаку подобных треугольников)
Так как угол ABC равен углу BDC, а угол BAM равен углу DCM (они являются соответственными углами при подобных треугольниках),
то углы BAM и ABC равны между собой, а также углы BDC и DCM равны между собой.
Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то углы ABC и DCM дополняют друг друга до 180 градусов, и углы BAM и BDC дополняют друг друга до 180 градусов.
Значит, углы ABC и BDC равны между собой.
Теперь мы можем записать отношение длин отрезков:
BM/BD = BZ/BM (из подобия треугольников ZBM и ZBD)
CD/CM = CM/CA (из подобия треугольников CDM и CDA)
Умножим эти два уравнения друг на друга:
(BM/BD) * (CD/CM) = (BZ/BM) * (CM/CA)
Упростим выражение:
BM * CD = CM * BZ
Теперь из первого уравнения BM/BD = BZ/BM выразим BM:
BM^2 = BD * BZ
Аналогично, из второго уравнения CD/CM = CM/CA выразим CD:
CD^2 = CM * CA
Теперь мы можем записать уравнение в виде:
BM^2 * CD^2 = BD * BZ * CM * CA
Заметим, что в правой части уравнения присутствят произведения BD * BZ и CM * CA.
BD можно выразить через ZB, используя треугольник ZBD. Из его подобия можем записать:
BD/ZB = BM/BZ
Из этого уравнения можем выразить BD:
BD = (BM * ZB) / BZ
Аналогично, из треугольника CMA можно выразить CM через CA:
CM/CA = CD/CM
Из этого уравнения можем выразить CM:
CM = (CD * CA) / CM
Подставим значения BD и CM в уравнение BM^2 * CD^2 = BD * BZ * CM * CA:
BM^2 * CD^2 = [(BM * ZB) / BZ] * BZ * [(CD * CA) / CM] * CM
Сократим все значения:
BM^2 * CD^2 = (BM * ZB) * (CD * CA)
Упростим выражение:
BM * CD = BM * CD
Таким образом, мы получили, что BM * CD = BM * CD, что означает, что BM = CD.
Получается, что отрезки BM и CD равны между собой.
Следовательно, по критерию параллельности прямых, прямые AC и BD параллельны.