Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔАВС, ΔА₁В₁С₁.
АС = А₁С₁, ∠А = ∠А₁, ∠С = ∠С₁
Доказать:
ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Наложим треугольники друг на друга равными сторонами так, чтобы вершины В и В₁ оказались по одну сторону от прямой АС.
Равные стороны совпадут, совпадут и углы, прилежащие к ним. Значит, совпадут и вершины В и В₁.
Cм. рисунок в приложении В основании пирамиды равносторонний треугольник АВС: АВ=ВС=АС=4 см. В равностороннем треугольнике все высоты равны. Высоты являются одновременно медианами и биссектрисами. МО ⊥ пл. АВС. ОА=ОВ=ОС=R ( радиус описанной окружности). R=a√3/3, где а- сторона правильного треугольника. ОА=ОВ=ОС=4√3/3 ОК=OD=r ( радиус вписанной окружности). Медианты в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. r=R/2=2√3/3
Равные проекции имеют равные наклонные. МА=МВ=МС.
а) АК- высота, медиана и биссектриса Δ АВС. АК⊥ВС ВК=КС. МК⊥BC по теореме о трех перпендикулярах ( проеция МК- ОК, ОК⊥ВС, так как АК ⊥ ВС). ВС ⊥ АК и ВС⊥ МК ВС ⊥ двум пересекающимся прямым плоскости АМК, значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ВС ⊥ пл. АМК, а значит и пл. АМО. Чтобы найти линейный угол двугранного угла между плоскостями АМО (АМК) и ВМС, надо провести перпендикуляры к линии их пересечения. Линией пересечения является МК. Проводим АЕ⊥МК и ЕF║ВС. (ВС⊥МК ⇒ ЕF⊥MK).
б) Угол между плоскостями АВС и МВС. Линией пересечения плоскостей является сторона ВС. АК⊥ВС МК⊥ВС Угол МКА - линейный угол двугранного угла. Из прямоугольного треугольника МОК tg ∠МКО=MO/OК=2/(2√3/3)=√3 ∠МКО=60°
в) угол между прямой МС и плоскостью АВС - угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Проекцией МС на плоскость АВС является ОС. Из прямоугольного треугольника МОС tg∠MCO=MO/OC=2/(4√3/3)=√3/2 ∠MCO=arctg (√3/2).
Объяснение:
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔАВС, ΔА₁В₁С₁.
АС = А₁С₁, ∠А = ∠А₁, ∠С = ∠С₁
Доказать:
ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Наложим треугольники друг на друга равными сторонами так, чтобы вершины В и В₁ оказались по одну сторону от прямой АС.
Равные стороны совпадут, совпадут и углы, прилежащие к ним. Значит, совпадут и вершины В и В₁.