Теорема.
(1-й признак ромба)
Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.
Дано:
ABCD — параллелограмм,
AC и BD — диагонали,
Доказать:
ABCD — ромб.
Доказательство:
1) Рассмотрим треугольники ABO и CBO.
∠AOB=∠COB=90º (так как по условию диагонали AC и BD перпендикулярны).
AO=CO (так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам).
BO — общий катет.
Следовательно, треугольники ABO и CBO равны (по двум катетам).
2) Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон:
AB=BC.
3) CD=AB, AD=BC (как противолежащие стороны параллелограмма).
4) Имеем: ABCD — параллелограмм (по условию),
AB=BC=AD=CD (по доказанному).
Следовательно, ABCD- ромб (по определению).
Что и требовалось доказать.
Теорема.
(1-й признак ромба)
Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.
Дано:
ABCD — параллелограмм,
AC и BD — диагонали,
Доказать:
ABCD — ромб.
Доказательство:
1) Рассмотрим треугольники ABO и CBO.
∠AOB=∠COB=90º (так как по условию диагонали AC и BD перпендикулярны).
AO=CO (так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам).
BO — общий катет.
Следовательно, треугольники ABO и CBO равны (по двум катетам).
2) Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон:
AB=BC.
3) CD=AB, AD=BC (как противолежащие стороны параллелограмма).
4) Имеем: ABCD — параллелограмм (по условию),
AB=BC=AD=CD (по доказанному).
Следовательно, ABCD- ромб (по определению).
Что и требовалось доказать.
1) точка В(3;3) лежит на биссектрисе первой четверти
Поэтому угол между лучами ОВ и полуосью Ох = 45 град.
2) А(3;9) В(0;6) С(4;2)
Найдём вектор АВ= (0-3;6-9)=(-3;-3) и вектор АС= (4-3;2-9)=(1;-7) (везде значки вектора)
Найдём модули векторов АВ и АС
I АС I=Корень из (1^2+(-7)^2))=Корень из(1+49)=Корень из 50= 5 корней из2
I АВ I=Корень из ((-3)^2+(-3)^2))=Корень из(9+9)=Корень из 18= 3 корня из2
тогда cos А=(АВ*АС)/ (I АВ I*I АС I)
cos А=((-3;-3)*(1;-7))/ (3 корня из2 * 5 корней из2) = (-3+21)/(15*2)=
=18/30=0,6