пусть сторона квадрата равна К, тогда
S=K^2 (1)
Но также мы знаем, что
S=P*r/2=2К*r/2 (где r-радиус вписанноу окружности) (2)
Теперь рассмотрим треугольник
центр окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров, тогда рассмотримт треугольник образованный половиной стороны, серединным перпендикуляром и радиусом окружности, (радиус совпадет с биссектрисой и с другим серединным перпендикуляром т. к. это правильный треугольник) значит острый угол рассматриваемого треугольника равен 60/2=30 Соответственно:
a/(2r)=cos30
r=a/2cos30=a/корень из 3 (3)
Подставлю формулу 3 в формулу 2 и приравняю формулы 1 и 2 получу результат:
К=а/корень из 3
S=K^2=a^2:3
ответ a^2:3
Дано:
АВС - треугольник
АМ = СМ
уг. АВС = 60°
уг. ВМА = 90°
Найти
уг. МВС - ?
уг. ВСА - ?
Решение
угол ВМА = 90° => уг. ВМС = 90°
т.е. ВМ | АС, а значит,
ВМ - высота, проведенная из вершины В на АС.
Также АМ = МС, а значит
ВМ - медиана, проведенная из вершины В на АС.
Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник - равнобедренный.
ВМ - высота и медиана ∆АВС, =>
=> ∆АВС - равнобедренный, основание АС =>
=> ВМ - также является биссектрисой ∆АВС, т.е.
уг. АВМ = уг. СВМ
Так, как ∆АВС - равнобедренный, с основанием АС, то углы при основании - равны друг другу
уг. ВАС = уг. АСВ
и равны
угол ВАС = угол ВСА = 1/2 • (180 - угол АВС)
угол ВАС = угол ВСА = 1/2 • (180 - 60) = 60°
а значит ∆АВС - равносторонний.
угол MBC = 30°
угол ВCA = 60°
![\sqrt[n]{x}](/tpl/images/0258/0436/b773b.png)
радиус описанной окружности около треугольника=а/√3
он является радиусом вписанной окружности в квадрат
сторона квадрата =2*а/√3=2а/√3
S=(2a/√3)²=4a²/3